1、- 1 -河北省大名县一中 2018-2019 学年高二数学上学期 12月半月考试题（清北班） 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的 1复数 等于（ ）2iA B C D4i 4i2i 2i2已知集合 ， ，则 （ ）|3xy0,134ABA B,2C D0,123 ,343函数 的图象是（ ）lncos2yxA B C D4已知两个单位向量 和 夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）ab60abaA B C D1112125已知双曲线 的虚轴
2、长是实轴长的 2倍，则双曲线的标准方程为（ 2(0)6xym）A B214xy2148xyC D286在 中， ， ， ，则角 等于（ ）B 1a3b6A- 2 -A 或 B C D3223347学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的结果为（ ）64xA2 B3 C4 D58从装有 3个白球，4 个红球的箱子中，随机取出了 3个球，恰好是 2个白球，1 个红球的概率是（ ）A B C D3563512353649在长方体 中， ， 与 所成的角为 ，1CDAB1AB0则 （ ）1A B3 C D3 5610将函
3、数 的图象向左平移 个单位，得 cos2in3cos302xxf 3到函数 的图像，若 在 上为增函数，则 的最大值为（ ）ygxygx0,4A1 B2 C3 D411函数 对任意的实数 都有 ，若 的图像关于fxx21ffxf1yfx对称，且 ，则 （ ）1x02f0178ff- 3 -A0 B2 C3 D412设 ， 分别为椭圆 的右焦点和上顶点， 为坐标原点， 是直F21(0)xyabOC线 与椭圆在第一象限内的交点，若 ，则椭圆的离心率是（ byxa FOBC）A B C D21721721321二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13曲线 在点
4、 处的切线方程为_5e2xy0,314若变量 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是_x254xyzxy15已知 ， ，则 _0,tan2cos16四棱锥 中，底面 是边长为 2的正方形，侧面 是以 为斜边的等腰SABCDABCSAD直角三角形，若四棱锥 的体积取值范围为 ，则该四棱锥外接球表面积的438,取值范围是_三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步骤 17 （12 分）设 为数列 的前 项和，已知 ， nSna37a12nan（1）证明： 为等比数列；1a（2）求 的通项公式，并判断
5、 ， ， 是否成等差数列？nnanS18 （12 分）某体育公司对最近 6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：（1）可用线性回归模型拟合 与 之间的关系吗？如果能，请求出 关于 的线性回归方程，yx yx如果不能，请说明理由；- 4 -（2）公司决定再采购 ， 两款车扩大市场， ， 两款车各 100辆的资料如表：ABAB平均每辆车每年可为公司带来收入 500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？参考数据： ， ， ， 6217.5iix6135iiixy62176iiy13
6、06.5参考公式：相关系数 ；1221niiiniiiirxy回归直线方程 ，其中 ， ybxa12niiiiixbaybx19 （12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，PABCDPABCDABDC， ，点 为棱 的中点2ADCP1E（1）证明： ；BED（2）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值FBFAFAB20 （12 分）已知 的直角顶点 在 轴上，点 ， 为斜边 的中点，且ABC Ay10B,DBC平行于 轴ADx- 5 -（1）求点 的轨迹方程；C（2）设点 的轨迹为曲线 ，直线 与 的另一个交点为 以 为直径的圆交 轴于BCECy、 ，记此圆的圆心为 ， ，求 的
7、最大值MNPMN21 （12 分）已知函数 2xfea（1）若 ，证明：当 时， ；a01f（2）若 在 有两个零点，求 的取值范围fx, a22.已知函数 1f（1）求不等式 2fx的解集；（2）关于 的不等式 3ffxa的解集不是空集，求实数 a的取值范围- 6 -理 科 数 学 周 测 答 案2018.12.28一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的 1 【答案】C【解析】 ，故选 C22i4ii12 【答案】C【解析】 集合 ， ，|3|3Axyx
8、0,1234B ，故选 C0,12B3 【答案】B【解析】由题得 ，所以函数 是偶函数，lncoslcsfxxfxfx所以图像关于 y轴对称，所以排除 A，C由题得 ，所以 D错误，1ln032故答案为 B4 【答案】D【解析】 ，1cos602ab则向量 在向量 方向上的投影为： 21cosabbab故选 D5 【答案】D【解析】双曲线 的虚轴长是实轴长的 2倍，21(0)6xym可得 ，解得 ，则双曲线的标准方程是 故选 D2=m 18xy6 【答案】A【解析】 ， ， ，由正弦定理得： 1a3b6AsinabAB则 ，又 ， ， 或 sin2iB0Bb32- 7 -故选 A7 【答案】C
9、【解析】输入 ， ， ， ， ；64x1i640x21log643x12i， ， ；30x2log33i， ， ；21l 21l()x14i，结束运算，输出 ，故选 Clog(3)0xi8 【答案】C【解析】由题得恰好是 2个白球 1个红球的概率为 故答案为 C2134759 【答案】D【解析】如图所示，连接 ，1AC ， 是异面直线 与 所成的角，即 ，1BA 1B130AC在 中， ，1RtC 21 2在 中，有 ，即 故选 D 1tan30A16tan30AC10 【答案】B【解析】函数 cos2in3cos302xxf，1sin233sisinxxx 的图象向左平移 个单位，得 的图象
10、，f 2si3y函数 ；2sinygx- 8 -又 在 上为增函数， ，即 ，解得 ，ygx0,44T242所以 的最大值为 2故选 B11 【答案】B【解析】因为 的图像关于 对称，1yfx1x所以 的图像关于 对称，即 为偶函数，f0f因为 ，21fxff所以 ，所以 ， ，12fff10f2fxf因此 ， ， ，故选 B2070ff8ff17082ff12 【答案】A【解析】根据 ，由平面向量加法法则，FOCB则有 为平行四边形 的对角线，故 ，BBFOCS 联立椭圆 、直线 方程，可得 ，21(0)xyabbyxa,2ab ，则 ， BFOCS 2BOFCBFSc， 1C bb 可得
11、， ，故选 A2ac217ea 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 - 9 -13 【答案】 530xy【解析】 的导数 ，e2 5ex则在 处的切线斜率为 ，切点为 ，0x00,3则在 处的切线方程为 ，即为 53yx5xy故答案为 530xy14 【答案】 1,7【解析】作出不等式组 对应的平面区域如图所示阴影部分 ；2534xy ABC由 得 ，即直线的截距最大， 也最大；zxyxzz平移直线 ，可得直线 经过点 时，截距最大，此时 最大，yx3,4Cz即 ；经过点 时，截距最小，由 ，得 ，347zA= 25y3 =xy即 ，此时 最小，为 ；,
12、Az341z即 的取值范围是 ，故答案为 z1,7,715 【答案】 53【解析】 ， ， ，0,tan20,2- 10 -则 ，解得 22sin1cos44co5cos 213ss2故答案为 5316 【答案】 28,0【解析】四棱锥 中，SABCD可得： ； 平面 平面 平面 ，SABSABCD过 作 于 ，则 平面 ，SOO设 ，故 ，AB18sin33SABCDV所以 ， ，3sin2,21co2,在 中， ，则有， ，SAB sSB所以 的外接圆半径 ， 21cosinsir将该四棱锥补成一个以 为一个底面的直三棱柱，SA得外接球的半径 ， ，21Rr241cosR所以 故答案为 2
13、803S,8,03三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步骤 17 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）证明： ， ， ，37a32a23 ， ， ，12na1 11nn 是首项为 2，公比为 2的等比数列n- 11 -（2）由（1）知， ， ，12na1na ，1nS 12210nnna ，即 ， ， 成等差数列SnS18 【答案】 （1） ；（2）见解析9yx【解析】 （1） ， ，617.5ii6135iiixy， 62176iiy306. ，122135350.961
14、7.61niiiniiiixyr所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系，1235217 .niiiiixyb又 ， ，3463.5x13652016y ，192.ayb回归直线方程为 yx（2）用频率估计概率， 款车的利润 的分布列为：AXX5005010P.1.3.4.2 （元） 50.10.35.40.250E款车的利润 的分布列为：BY- 12 -Y302070120P.15.4.35. （元） 30.1520.470.3120.EY以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择 款车型B19 【答案】 （1）见解析；（2） 10【解析】 （1）依题意
15、，以点 为原点，以 为轴建立空间直角坐标系如图，可得A、 AD、 P， ， ， ，,0B,0C,2D,2P由 为棱 的中点，得 向量 ， ，EP1,E0,1BE0,2故 ， 0B（2） ， ， ， ，1,2C2,2,AC,AB由点 在棱 上，设 ， ，FPFP01故 ，,BB由 ，得 ，AC因此 ， ，即 ，21203413,2BF设 为平面 的法向量，则 ，即 ，1,xyznFAB10An1302xyz不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量10,3nFB取平面 的法向量 ，则 ，ABD2, 121210cosn,所以二面角 的余弦值为 F020 【答案】 （1） ；（2） 240yx3- 13
16、 -【解析】 （1）设点 的坐标为 ，Cxy,则 的中点 的坐标为 ，点 的坐标为 BD12,A02y,， ，12yA,yACx,由 ，得 ，即 ，B20424yx经检验，当点 运动至原点时， 与 重合，不合题意舍去AC所以轨迹 的方程为 2yx（2）依题意，可知直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，点 、 的坐标EE1xmyCE分别为 、 ，圆心 的坐标为 1xy,2,P0xy,由 ，可得 ， ， 24m4my124124y ， 21212xy0xm圆 的半径 P22124rCEx过圆心 作 于点 ，则 QMNPQ在 中， ，RtP 2021cos2xmr当 ，即 垂直于 轴时， 取得最小
17、值为 ， 取得最大值为 ，20mCEcos23所以 的最大值为 321 【答案】 （1）见解析；（2） 2e4,【解析】 （1）证明：当 时，函数 则 ，1a2xf2xfe令 ，则 ，令 ，得 2xge2xge0gln当 时， ，当 时，0,ln0ln,x 在 单调递增， fx,01fxf- 14 -（2）解： 在 有两个零点 方程 在 有两个根，fx0,2e0xa,在 有两个根，2ea,即函数 与 的图像在 有两个交点 ，y2xeG0,3e2xG当 时， ， 在 递增0,2x0xx,2当 时， ， 在 递增,所以 最小值为 ，Gx2e4当 时， ，当 时， ，0xGx 在 有两个零点时， 的取值范围是 fx,2e4,22.【答案】 （1） ；（2） ,1,A1,【解析】 （1） ， ，2fx0x当 时，不等式可化为 ，解得 ，所以 ；x11x1x当 ，不等式可化为 ，解得 ，无解；12210x当 时，不等式可化为 ，解得 ，所以x11xx综上所述， ,A（2）因为 ，2312121fxfxx且 的解集不是空集，ffa所以 ，即 的取值范围是 1a1,
