1、- 1 -吉林省名校 2019 届高三下学期第一次联合模拟考试高三数学考试（理科）第卷一、选择题：1已知集合 A0，1，2，3，BxNlnxx1） ，则 ABA0，1 B1，2 C0，1，2 D0，1，2，32设复数 z 满足 ，则|z|iA1 B C3 D503已知双曲线 （a0，b0）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离21xy(2,6)心率为A2 B C3 D4某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：不喜欢 喜欢男性青年观众 30 10女性青年观众 30 50现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了
2、6 人，则 nA12 B16 C24 D325在ABC 中，若点 D 满足 ，点 E 为 AC 的中点，则3BCEDA B C D16314A314AB5163ACB6若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 B- 2 -A4 B13 C40 D417将函数 f（x）sinx 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 yg（x）的图象，则函4数 yf（x）g（x）的最大值为A B C1 D242428某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D343439在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b1，点 D 是边 BC 的中点，且 ，则ABC 的面积(2sin3
3、cos)csa 32AD为A B C 或 D 或32323410函数 f（x）xsin2xcosx 的大致图象有可能是- 3 -ABCD11已知四棱锥 SABCD，SA平面 ABCD，ABBC，BCDDAB，SA2，二面角 SBCA 的大小为 若四面体 SACD 的四个顶点都在同一球面上，则263BC3该球的表面积为A B4 C8 D1642- 4 -12已知函数 f（x）exe x ，若对任意的 x（0，） ，f（x）mx 恒成立，则 m 的取值范围为A （，1） B （，1 C （，2） D （，2第卷二、填空题：13二项式 的展开式中 x2 的系数是_51()x14设 x，y 满足约束条
4、件 ，则 的最大值是_40,12,yx 23yzx15已知 sin10mcos102cos140，则 m_16已知 A，B 是抛物线 y22px（p0）上任意不同的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P（x 0，0） ，则 x0的取值范围是_ （用 p 表示）三、解答题：（一）必考题：17已知数列a n为等差数列，a 7a 210，a 1，a 6，a 21依次成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，数列b n的前 n 项和为 Sn，若 ，求 n 的值1nba 2518如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 是底面 ABCD 的中心，E 是线段 D1O 的上
5、一点（1）若 E 为 D1O 的中点，求直线 OD1与平面 CDE 所成角的正弦值；（2）能否存在点 E 使得平面 CDE 上平面 CD1O，若能，请指出点 E 的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由19随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活在家里面不用出门就可以买到自己- 5 -想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数 yi（单位：人）与时间 ti（单位：年）的数据，列表如下：ti 1 2 3 4 5yi 24 27 41 64 79（1）依据表中给
6、出的数据，是否可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请计算相关系数 r并加以说明（计算结果精确到 0.01） （若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据 1 122221()()()()n nii inii iii itytyr 5697.4（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案方案一：每满 600 元可减 100 元；方案二：金额超过 600 元可抽奖三次，每次中奖的概率都为 ，且每次抽奖互不影响，中奖121 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折两位顾客都购买了 1050 元的产品，求至少有一名顾客选择方案二
7、比选择方案一更优惠的概率；如果你打算购买 1000 元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案20顺次连接椭圆 （ab0）的四个顶点恰好构成了一个边长为 且面积2:1xyC 3为 的菱形2（1）求椭圆 C 的方程；（2）A，B 是椭圆 C 上的两个不同点，若直线 OA，OB 的斜率之积为 （O 为坐标原点） ，线12段 OA 上有一点 M 满足 ，连接 BM 并延长椭圆 C 于点 N，求 的值|23OA|BM21已知函数 f（x）x 22x2alnx，若函数 f（x）在定义域上有两个极值点 x1，x 2，且- 6 -x1x 2（1）求实数 a 的取值范围；（2）证明：
8、123()ln0fxf（二）选考题：22在直角坐标系 xOy 中，曲线 （a0，t 为参数） 在以坐标原点为1(sin),:coxCyt极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 （R） 2:6（1）说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线 C3的方程为 ，设 C2与 C1的交点为 O，M，C 3与 C1的交点为 O，N，若3yxOMN 的面积为 ，求 a 的值223已知函数 f（x）|4x1|x2|（1）解不等式 f（x）8；（2）若关于 x 的不等式 f（x）5|x2|a 28a 的解集不是空集，求 a 的取值范围高三数学考试参考答案（理科）1B 2D 3A
9、4C 5B 6C 7A 8B 9D10A 11C 12D 1310 145 15 16 （p，）317解：（1）设数列a n的公差为 d，因为 a7a 210，所以 5d10，解得 d2因为 a1，a 6，a 21依次成等比数列，所以 ，261即（a 152） 2a 1（a 1202） ，解得 a15所以 an2n3（2）由（1）知 ，1(23)5nban所以 ，()35n- 7 -所以 ，111()()()2579235(2)n nSn由 ，得 n10()18解：不妨设正方体的棱长为 2，以 DA，DC，DD 1分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 D（0，0，0
10、） ，D 1（0，0，2） ，C（0，2，0） ，O（1，1，0） （1）因为点 E 是 D1O 的中点，所以点 E 的坐标为 1(,)2所以 ， ， 1OD1(,)2E(0,2)DC设 是平面 CDE 的法向量，则(,)pxyz ,pE即 ，10,2.y取 x2，则 z1，所以平面 CDE 的一个法向量为 (2,01)p所以 11 222130cos, 5|()()ODp所以直线 OD1与平面 CDE 所成角的正弦值为 3015（2）假设存在点 E 使得平面 CDE平面 CD1O，设 DE显然 ， (1,0)OC1(,2)D- 8 -设 是平面 CD1O 的方向量，则 ，即 (,)mxyz
11、10,mOCD0,2xyz取 x1，则 y1，z1，所以平面 CD1O 的一个法向量为 (,1)因为 ，所以点 E 的坐标为 DE 2(,)所以 ， 2(,)10)C设 是平面 CDE 的法向量，则 即 (,)nxyz ,nDE 20,1120.xyzy取 x1，则 ，所以平面 CDE 的一个法向量为 2(,)因为平面 CDE平面 CD1O，所以 ，即 ， ，解得 2mn1所以 的值为 2即当 时，平面 CDE平面 CD1O|2DE19解：（1）由题知 ， ， ， ，3t47y5182ity21()0nit，21()78niiy则 1 12 21()()()n nii inii iii ity
12、tyr 47470.9.755.28069故 y 与 t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合（2）选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件 A，则，031()8PAC故所求概率为 63()4PA若选择方案一，则需付款 1000100900（元） ，若选择方案二，设付款 X 元，则 X 可能取值为 700，800，900，1000- 9 -；31(70)(28PXC；38；12(9)()038PXC所以 （元） ，31()790850E因为 850900，所以选择方案二更划算20解：（1）由题可知 ，a 2b 23，2解得 ，b1a所以椭圆 C 的方程为 21xy（
13、2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， N（x 3，y 3） ，|MB ， ，3OM1(,)3 ， 122(,xy322(,)xy又 ， ，BN113(,),xyxy即 ， 312x32点 N（x 3，y 3）在椭圆 C 上， ，1 21()()13xy即 （*）221 124(1)4()( )9 xyA（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）在椭圆 C 上， ， ，21y21y又直线 OA，OB 斜率之积为 ， ，即 ，112yx120x将代入（*）得 ，解得 224()938- 10 -21 （1）解：因为函数 f（x）在定义域（0，）上有两个极值点 x1，x 2，且
14、x1x 2，所以 在（0，）上有两个根 x1，x 2，且 x1x 2，2()afx即 x2xa0 在（0，）上有两个不相等的根 x1，x 2所以 14,解得 0a（2）证明：由题可知 x1，x 2（0x 1x 2）是方程 x2xa0 的两个不等的实根，所以 其中 12,xa4故 221112()lnlnffxaxax（x 1x 2）22x 1x22（x 1x 2）2aln（x 1x2）2alna2a1，令 g（a）2alna2a1，其中 故 g（a）21na0，04所以 g（a）在 上单调递减，则 ，即(0,)413()ln2g123()lnfxf22解：（1）消去参数 t 得到 C1的普通方程：（xa） 2y 2a 2C1是以（a，0）为圆心，a 为半径的圆将 xcos，ysin 带入 C1的普通方程，得到 C1的极坐标方程 2acos（2）C 3的极坐标方程 （R） ，53将 ， 代入 2cos，解得 ， 2a，613则OMN 的面积为 ，解得 a21sin()26a23解：（1）由题意可得 ，3,21()5,4,xfx- 11 -当 x2 时，3x38，得 ，无解；53x当 时，5x18，得 ，即 ；4x914x当 时，3x38，得 ，即 1x4所以不等式的解集为 9|53（2）f（x）5|x2|4x1|4x8|9，则由题可得 a28a9，解得 a1 或 a9
