1、1课时规范练 55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础巩固组1.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( )A.40 B.16 C.13 D.102.现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )A.56 B.65C. D.6543256543223.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( )A.24 种 B.30 种 C.36 种 D.48 种4.(2018 山西一模)某天的值日工作由 4 名同
2、学负责,且其中 1 人负责清理讲台,另 1 人负责扫地,其余 2 人负责拖地,则不同的分工共有( )A.6 种 B.12 种C.18 种 D.24 种5.(2018 北京一零一中学 3 月模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )A. 种 B. 54种2645 26C. 54种 D. 种26 26456.(2018 辽宁丹东模拟)现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等 5 个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为( )A.12 B.24C.4
3、8 D.607.(2018 黑龙江牡丹江)将数字 1,2,3,4,填入下面的表格内,要求每行、每列的数字互不相同,如图所示,则不同的填表方式共有( )种A.432 B.576C.720 D.86428.(2018 新疆乌鲁木齐二诊)有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不能和乙站在一起,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法种数有 (用数字作答) . 9.若甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 种 . 10.三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数是 . 综合提升组11.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,
4、组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )A.24 B.18 C.12 D.612.(2018 内蒙古赤峰模拟)把 2 支相同的晨光签字笔,3 支相同的英雄钢笔,全部分给 4 名优秀学生,每名学生至少 1 支,则不同的分法有( )A.24 种 B.28 种C.32 种 D.36 种13.(2018 天津模拟)将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为( )A.180 B.192C.204 D.26414.如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有 4 种颜色可供选择,则涂色方法共有的种数为 . 15.我们把中间位上的数字最大
5、,而两边依次减小的多位数称为“凸数” .如 132,341 等,则由1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位凸数的个数是 . 16.(2018 浙江宁波模拟)现有红、黄、蓝、绿四个骰子,每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子,则四个骰子朝上的数字之积等于 24 的情形共有 种(请用数字作答) . 创新应用组17.对甲、乙、丙、丁四人进行编号,甲不编“1”号、乙不编“2”号、丙不编“3”号、丁不编“4”号的不同编号方法有( )A.8 种 B.9 种 C.10 种 D.11 种18.如图,在由若干个同样小的平行四边形组成的大平行四边形内有一个,则含有的平行四边
6、形共有 个 .(用数字作答) 参考答案3课时规范练 55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.C 分两类情况讨论:第 1 类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面;第 2 类,直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面 .根据分类加法计数原理知,共可以确定 8+5=13 个不同的平面 .2.A 6 名同学中的每一名同学都可以从 5 个课外知识讲座中任选一个,由分步乘法计数原理可知不同的选法种数是 56.故选 A.3.D 按 ABCD 的顺序分四步着色,共有 4322=48 种不同的着色方法 .4.B 方法数有 =12 种 .故选 B.14
7、135.C 因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有 种情况,其余年级均有 526种选择,所以共有 54种情况,根据分步乘法计数原理可得共有 54种情况,故选 C.266.C 先从 4 组 2 张连号票,比如(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)中取出一组,分给甲、乙两人,共有 =81422种,其余的 3 张票随意分给剩余的 3 人,共有 =6 种方法,根据分步乘法计数原理可知,共有3386=48 种不同的分法,故选 C.7.B 对符合题意的一种填法如图,行交换共有 =24 种,列交换共有 =24 种,所以根据分步乘法计44 44数原理得到不同的填表方式共有 2424=57
8、6 种,故选 B.8.36 根据题意,先排除甲后的其余 4 人进行排列,因为乙、丙两位同学要站在一起,故将乙、丙“捆绑”再与其余 2 人进行全排,共有 =12 种不同的排法 ,再将甲插空,由于甲不能和乙站在一3322起,故甲有 3 种插法,所以根据分步乘法计数原理,不同的站法有 123=36 种 .故答案为 36.9.24 分步完成,首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4 种方法;其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门,有 3 种方法;最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门,有 2 种方法 .于是,甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 432=24(种) .10.36
9、另两边长用 x,y(x,yN +)表示,不妨设 1 x y11,要构成三角形,必须 x+y12 .当 y 取11 时, x 可取 1,2,3,11,有 11 个三角形;当 y 取 10 时, x 可取 2,3,10,有 9 个三角形;当y 取 6 时, x 只能取 6,只有 1 个三角形 .所以所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36.11.B 三位数可分成两类,第一类是奇偶奇,其中个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 2 种选择,共有 322=12(个);第二类是偶奇奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 1 种选择,共有 321=6(个) .故由分类加法计数
10、原理,可知共有奇数 12+6=18(个) .故选 B.12.B 第一类,有一个人分到一支钢笔和一支签字笔,这种情况下的分法有:先将一支钢笔和一支签字笔分给一个人,有 4 种分法,将剩余的 2 支钢笔, 1 支签字笔分给剩余 3 名同学,有 3 种分法,共有34=12 种不同的分法;第二类,有一个人分到两支签字笔,这种情况下的分法有:先将两支签字笔分给一个人,有 4 种情况,将剩余的 3 支钢笔分给剩余 3 个人,只有 1 种分法,共有 41=4 种不同的分法;第三类,有一个人分到两支钢笔,这种情况的分法有:先将两支钢笔分给一个人,有 4 种情况,再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的 3 个
11、人,有 3 种分法,那共有 34=12 种不同的分法 .4综上所述,总共有 12+4+12=28 种不同的分法 .故选 B.13.C 根据题意,分 3 种情况讨论: 个位数字为 0,在前面 5 个数位中任选 2 个,安排 2 个数字 4,有 =10 种情况,25将剩下的 3 个数字全排列,安排在其他的数位,有 =6 种情况,33则此时有 106=60 个偶数, 个位数字为 2,0 不能在首位,有 4 种情况,在剩下的 4 个数位中任选 2 个,安排 2 个数字 4,有 =6 种情况,24将剩下的 2 个数字全排列,安排在其他的数位,有 =2 种情况,22则此时有 462=48 个偶数, 个位数
12、字为 4,0 不能在首位,有 4 种情况,将剩下的 4 个数字全排列,安排在其他的数位,有 =24 种情况,则此时有 424=96 个偶数 .共44有 60+48+96=204 个不同的偶数;故选 C.14.72 因为区域 1 与其他 4 个区域都相邻,首先考虑区域 1,有 4 种涂法,然后再按区域 2,4 同色和不同色,分为两类:第一类,区域 2,4 同色,有 3 种涂法,此时区域 3,5 均有 2 种涂法,共有 4322=48 种涂法;第二类,区域 2,4 不同色,先涂区域 2,有 3 种涂法,再涂区域 4,有 2 种涂法,此时区域 3,5 都只有 1 种涂法,共有 43211=24 种涂
13、法 .根据分类加法计数原理知,共有 48+24=72 种满足条件的涂色方法 .15.20 根据“凸数”的特点,中间的数字只能是 3,4,5,故分三类,第一类,当中间数字为 3 时,此时有 2 种(132,231);第二类,当中间数字为 4 时,从 1,2,3 中任取两个放在 4 的两边,故有 =6 种;23第三类,当中间数字为 5 时,从 1,2,3,4 中任取两个放在 5 的两边,故有 =12 种;24根据分类加法计数原理知,由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位凸数的个数是 2+6+12=20.16.52 因为 24=6411=6221=4321=3222,对于上述四种情形掷这四
14、个骰子时,分别有 =12, =12, =24, =4 种情形,综上共有 12+12+24+4=52 种情形 .24 14 23 44 1417.B 依题意,符合要求的编号方法为“1”号是乙、丙、丁三人中的某一个 . 当乙的编号为“1”时,其他人的编号如下:1 2 3 4乙 甲 丁 丙乙 丙 丁 甲乙 丁 甲 丙显然,此时有 3 种不同的编号方法; 当丙的编号为“1”时,其他人的编号如下:1 2 3 4丙 甲 丁 乙丙 丁 甲 乙丙 丁 乙 甲显然,此时有 3 种不同的编号方法;5 当丁的编号为“1”时,其他人的编号如下:1 2 3 4丁 甲 乙 丙丁 丙 甲 乙丁 丙 乙 甲显然,此时有 3 种不同的编号方法 .由分类加法计数原理,知不同的编号方法有 3+3+3=9(种) .18.48 含有的平行四边形的左上角的顶点有 4 种可能,右下角的顶点有 12 种可能 .由一个左上角顶点和一个右下角顶点就能构成一个平行四边形,所以共有 48 个含有的平行四边形 .
