1、1第三节 函数的奇偶性与周期性A 组 基础题组1.函数 f(x)= -x 的图象关于( )1xA.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称答案 C 易知 f(x)= -x 是奇函数,所以图象关于原点对称.1x2.已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=2 x+m,则 f(-2)=( )A.-3 B.- C. D.354 54答案 A 因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 f(0)=20+m=0,解得 m=-1,则 f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.3.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(
2、x+1)= ,若 f(x)在-1,0上是减函数,则 f(x)在2,3上是( )1f(x)A.增函数 B.减函数C.先增后减的函数 D.先减后增的函数答案 A 由题意知 f(x+2)= =f(x),所以 f(x)是以 2 为周期的周期函数,又函数 f(x)是定义域为 R 的偶函1f(x+1)数,且 f(x)在-1,0上是减函数,则 f(x)在0,1上是增函数,所以 f(x)在2,3上是增函数.4.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数,当 x-2,1时,f(x)= 则 f =( )4x2-2,-2 x 0,x,00,f(x)在-2,0上也是增函数,且 f(x)0,且 f(x)为减函数.
3、f(-25)=f(-1)0, f(80)=f(0)=0,f(-25)0 时,f(x)=x 2-x,则当 x0,所以 f(-x)=x2+x,又函数 f(x)为奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=-x2-x=- + ,所以当(x+12)214x0,则 x 的取值范围是 . 答案 (-1,3)解析 f(2)=0, f(x-1)0,f(x-1)f(2),又f(x)是偶函数,且在0,+)上单调递减,f(|x-1|)f(2),|x-1|0 时, f(x)= .x1-3x(1)求当 x0,f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=- = .-x1-3-x x1-3-x(2)f(x)0 时, ,11-3x
4、18 13x-118所以 3x-1- ,x1-3-x x8 11-3-x 183所以 3-x32,所以 x0,0,x=0,x2+mx,x0,所以 f(x)=x2+mx, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即-x 2-2x=-x2-mx,所以 m=2.(2)要使 f(x)在-1,a-2上单调递增,结合 f(x)的图象(图略)知 a-2 -1,a-2 1,所以 1bc B.cabC.bca D.acb答案 D 偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),函数的周期为 2.a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-1.6)=
5、f(0.4)=f(-0.4),c=f(0.5)=f(-0.5).函数 f(x)在-1,0上单调递减,且-0.8cb,故选 D.4.设函数 f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0x1 时,f(x)=x.4(1)求 f()的值;(2)当-4x4 时,求函数 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积.解析 (1)由 f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,所以 f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x+2)=-f(x),得 f(x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1),即 f(1+x)=f(1-x).所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.又当 0x1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.当-4x4 时,设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=4SOAB =4 =4.(1221)
