1、1第一节 变化率与导数、导数的计算A组 基础题组1.已知曲线 y= -3ln x的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 ( )x24 12A.3 B.2 C.1 D.12答案 A 由题意知 y= - = (x0),解得 x=3,即切点的横坐标为 3.x23x122.已知函数 f(x)的图象如图, f (x)是 f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( )A.00,即 4a2+4a+10,所以 a- .12所以 a的取值范围是 .(-, -12) (-12,+ )4B组 提升题组1.已知 f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在交点(0,m)
2、处有公切线,则 a+b=( )A.-1 B.0C.1 D.2答案 C 依题意得, f (x)=-asin x,g(x)=2x+b, f (0)=g(0),-asin 0=20+b,故 b=0,m=f(0)=g(0),m=a=1,因此 a+b=1,故选 C.2.已知 f(x)为偶函数,当 x0 时, f(x)=e -x-1-x,则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 答案 y=2x解析 当 x0时,-x0),f (x)=e x-1+1(x0), f (1)=2,故曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 y-2=f (1)(x-1),即 y=2x.3.已知函数 f(x)=ax
3、3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线 m:y=kx+9,且 f (-1)=0.(1)求 a的值;(2)是否存在 k,使直线 m既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如果存在,求出 k的值;如果不存在,请说明理由.解析 (1)由已知得 f (x)=3ax2+6x-6a,因为 f (-1)=0,所以 3a-6-6a=0,所以 a=-2.(2)存在.理由如下:由已知得,直线 m恒过定点(0,9),若直线 m是曲线 y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3 +6x0+12).x20因为 g(x0)=6x0+6,所以切线方程为 y-(3 +6x0+12)=(
4、6x0+6)(x-x0),x20将(0,9)代入切线方程,解得 x0=1.当 x0=-1时,切线方程为 y=9;当 x0=1时,切线方程为 y=12x+9.由(1)知 f(x)=-2x3+3x2+12x-11,由 f (x)=0得-6x 2+6x+12=0,解得 x=-1或 x=2.在 x=-1处,y=f(x)的切线方程为 y=-18,在 x=2处,y=f(x)的切线方程为 y=9,所以 y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9.由 f (x)=12得-6x 2+6x+12=12,解得 x=0或 x=1.5在 x=0处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11,在 x=1处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10,所以 y=f(x)与 y=g(x)的公切线不是 y=12x+9.综上所述,y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9,此时 k=0.
