1、122 不等式选讲1.已知函数 f(x)=m-|x-3|,mR,不等式 f(x)2的解集为 x|22,得 m-|x-3|2,所以 5-m2的解集为(2,4),所以 5-m=2且 m+1=4,解得 m=3. (2)关于 x的不等式 |x-a| f(x)恒成立,等价于 |x-a|+|x-3|3 恒成立,即 |a-3|3 恒成立,解得 a6 或 a0 .2.已知函数 f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)当 m=-1时,求不等式 f(x)2 的解集;(2)若 f(x) |2x+1|的解集包含 ,求 m的取值范围 .34,2解析 (1)当 m=-1时, f(x)=|x-1|+|2x-1|,当 x1
2、 时, f(x)=3x-22,解得 1 x ;43当 1的解集;(2)当 x(0,1)时,不等式 f(x)x成立,求 a的取值范围 .解析 (1)当 a=2时, f(x)=|x+1|-|2x-1|,即 f(x)=x-2,x -1,3x,-11得 或 或 解得 1,x -1 3x1,-11,x 12, 13 12 12故不等式 f(x)1的解集为 .x|13x成立等价于当 x(0,1)时, |ax-1|0,由 |ax-1|0,b0,a2+b2=a+b.证明:(1)(a+b)22( a2+b2);(2)(a+1)(b+1)4 .解析 (1)因为( a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=
3、-(a-b)20,所以( a+b)22( a2+b2).(2)由(1)及 a2+b2=a+b,得 02;(2)当 a=0时,不等式 f(x)t2-t-7对 xR 恒成立,求实数 t的取值范围 .解析 (1)当 a=1时,由 f(x)2得 |2x+1|-|x-1|2,故有 或 或x2 -12 x 1,2x+1+x-12 x1,2x+1-(x-1)2,即 x1,23即 x ,23故原不等式的解集为 .x|x234(2)当 a=0时, f(x)=|2x|-|x-1|=-x-1,x1, 由函数 f(x)的图象(图略)知, f(x)min=f(0)=-1.由 -1t2-t-7得 t2-t-60,b0,且
4、 a2+b2=1,证明:(1)4a2+b29 a2b2;(2)(a3+b3)2 0,b0,a ,b(0,1),a 30的解集为 R,求实数 a的取值范围 .解析 (1)f (x)=|x+2|+|x-1| |x+2-(x-1)|=3, 函数 f(x)的最小值为 3,此时 x的取值范围为 -2,1.(2)不等式 f(x)+ax-10的解集为 R,等价于 f(x)-ax+1成立时,即函数 f(x)的图象恒位于直线 y=-ax+1的上方 .f (x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1,x1, 6又函数 y=-ax+1表示过点(0,1),斜率为 -a的一条直线,如图所示, 由题意可知, m恒成立,须有
5、f(x)minm; 不等式的解集为 R,即不等式恒成立; 不等式的解集为空集,即不等式无解 .已知函数 f(x)=|2x-a|+|x-1|,aR .(1)若不等式 f(x)2 -|x-1|有解,求实数 a的取值范围;(2)当 a1),作出函数 f(x)的图象,由图可知 f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,(-,a2) a2,+ )f (x)min=f =- +1=3,解得 a=-42|x|.(2)若 f(x) a2+2b2+3c2对任意 xR 恒成立,求证: ac+2bc .78解析 (1) f(x)2|x|x2+|x-2|2|x| 或 或x 2,x2+x-22x 02xx2或 02或 x
6、 -2x所以不等式 f(x)2|x|的解集为( - ,1)(2, + ).(2)当 x2 时, f(x)=x2+x-24;当 x0,b0,a+b=1.求证:(1) + ;1a 41+b 92(2) + 2 .2a+1 2b+1 2解析 (1)a 0,b0,a+b=1, 1= a+(b+1),12 + = a+(b+1)= ,1a 41+b12(1a+ 41+b) 12(5+b+1a + 4ab+1) 92当且仅当 b+1=2a,即 a= ,b= 时,等号成立 .23 13(2)(分析法)要证 + 2 ,2a+1 2b+1 2只需证 2a+1+2b+1+2 8,(2a+1)(2b+1)a 0,b
7、0,a+b=1, 只需证 2 .(2a+1)(2b+1)8由基本不等式可得 =2,(2a+1)(2b+1)(2a+1)+(2b+1)2由此逆推而上,则不等式 + 2 成立 .2a+1 2b+1 23.已知函数 f(x)=|ax-1|.(1)当 a=3时,解不等式 f(x) |x+1|;(2)若关于 x的不等式 f(x)+f(-x)2,解得 m3.4.已知函数 f(x)=|tx-3|+|x-1|(t为常数) .(1)当 t=4时,求不等式 f(x)2 的解集;(2)当 t=1时,若函数 f(x)的最小值为 M,正数 a,b满足 + =M,证明: a+b9 .2a8b解析 (1)当 t=4时, f
8、(x)2 等价于 |4x-3|+|x-1|2 . 当 x1 时,4 x-3+x-12, x ;65 当 2,2x-3 5 1 x 2,1 5 x-2,g(x)=x2+2ax+ ,若对于 x ,都有 f(x) g(x)成立,求 a的取值范围 .74 -1,a2解析 (1)当 a=6时, f(x)=|2x+4|+|2x-6|,f(x)12 等价于 |x+2|+|x-3|6 .因为 |x+2|+|x-3|=2x-1,x3,5,-2 x 3,-2x+1,x3,2x-1 6 -2 x 3,5 6 x-2,且 x 时, f(x)=2x+4-(2x-a)=4+a,-1,a2所以 f(x) g(x),即 4+a g(x).又 g(x)=x2+2ax+ 的最大值必为 g(-1),g 之一,74 (a2)所以 即4+a 114-2a,4+a 54a2+74, 3a -54,54a2-a-94 0,解得 - a ,512 95所以 a的取值范围为 .-512,95
