1、120 直线与抛物线的综合1.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且 x1+x2= ,则弦43AB 的长为( ).A.4 B. C. D.163 103 83解析 抛物线的焦点弦公式为 |AB|=x1+x2+p,由抛物线方程可得 p=2,则弦 AB 的长为x1+x2+p= +2= ,故选 C.43 103答案 C2.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA l,A 为垂足,若直线 AF 的斜率 k=- ,则线段 PF 的长为( ).3A.4 B.5 C.6 D.7解析
2、因为抛物线的方程为 y2=6x,所以焦点为 F ,准线方程为 x=- .(32,0) 32因为直线 AF 的斜率 k=- ,3所以直线 AF 的方程为 y=- .3(x-32)当 x=- 时, y=3 ,即 A .32 3 (-32,3 3)因为 PA l,A 为垂足,所以点 P 的纵坐标为 3 ,代入抛物线方程,得点 P 的坐标为3,所以 |PF|=|PA|= - =6,故选 C.(92,3 3) 92(-32)答案 C3.已知抛物线 C:y2=x,过点 P(a,0)的直线与 C 相交于 A,B 两点, O 为坐标原点,若 0)上一点,由定义易得 |PF|=x0+ ;若过焦点的弦 AB 的端
3、点坐标p2分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 |AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到 .已知过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,若 |AB|=16,且 |AF|0. 设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4t. =(x1-4,y1-4)(x2-4,y2-4)MDME=(x1-4)(x2-4)+(y1-4)(y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16= -4 +16+y1y2-4(y1
4、+y2)+16(y1y2)216 (y214+y224)=t2-16m2-12t+32-16m=0,即 t2-12t+32=16m2+16m,得( t-6)2=4(2m+1)2,t- 6=2(2m+1),即 t=4m+8 或 t=-4m+4.把 t=4m+8 代入 式检验,满足 0,把 t=-4m+4 代入 式检验,得 m2(不合题意) . 直线 DE 的方程为 x=my+4m+8=m(y+4)+8. 直线 DE 过定点(8, -4).根据直线与圆锥曲线的位置关系中弦的中点、平面向量、线段的平行与垂直、距离等概念,可建立关于变量的方程来求解 .过点(2,1)的直线交抛物线 y2= x 于 A,
5、B 两点(异于坐标原点 O),若 | + |=| - |,则52 OAOB OAOB该直线的方程为( ).A.x+y-3=0 B.2x+y-5=0C.2x-y+5=0 D.x-2y=05解析 设直线 AB 的方程为 x-2=m(y-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立 得 2y2-5my+5m-10=0.y2=52x,x-2=m(y-1),则 = 5(5m2-8m+16)0. (*)又 y1+y2= ,y1y2= ,5m2 5m-102x 1x2=(my1-m+2)(my2-m+2)=m2y1y2+m(2-m)(y1+y2)+(2-m)2=m2 +m(2-m) +(2-m)25m-1
6、02 5m2=(2-m)2.| + |=| - |, ,OAOB OAOB OAOB =x1x2+y1y2=0, OAOB (2-m)2+ =0,5m-102m= 2 或 m=- ,满足( *),12但是当 m=2,直线方程为 x-2y=0 时,与抛物线的一个交点为原点,不满足 OA OB,应该舍去 . 该直线的方程为 x-2=- (y-1),即 2x+y-5=0.故选 B.12答案 B能力 3 会用方程恒成立的思想解曲线过定点问题【例 3】 已知椭圆 C: +y2=1(a1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M:(x-3)x2a22+(y-1)2=3 相切 .(1)求椭圆 C
7、的方程;(2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且 =0,求证:直线 l 过定点,并APAQ求该定点的坐标 .解析 (1)由题意知,圆 M 的圆心为(3,1),半径 r= ,A(0,1),F(c,0),36直线 AF 的方程为 +y=1,即 x+cy-c=0.xc由直线 AF 与圆 M 相切,得 = ,|3+c-c|c2+1 3解得 c2=2,a2=c2+1=3,故椭圆 C 的方程为 +y2=1.x23(2)由 =0 知 AP AQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,故可设直线 AP 的方程为APAQy=kx+1,直线 AQ 的方程为 y=- x+1.1k联立方程组 y
8、=kx+1,x23+y2=1,整理得(1 +3k2)x2+6kx=0,解得 x=0 或 x= ,-6k1+3k2故点 P 的坐标为 ,(-6k1+3k2,1-3k21+3k2)同理可得,点 Q 的坐标为 .(6kk2+3,k2-3k2+3)所以直线 l 的斜率为 = ,k2-3k2+3-1-3k21+3k26kk2+3- -6k1+3k2k2-14k所以直线 l 的方程为 y= + ,k2-14k(x- 6kk2+3)k2-3k2+3即 y= x- .k2-14k 12所以直线 l 过定点 .(0,-12)证明直线过定点,一般有两种方法:(1)特殊探求,一般证明,即可以先考虑动直线或曲线的特殊
9、情况,找出定点的位置,然后证明该定点在该直线或该曲线上(将定点的坐标代入直线或曲线的方程后等式恒成立) .(2)分离参数法,一般可以根据需要选定参数 R,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式 f1(x,y) 2+f2(x,y)+f 3(x,y)=0(一般地, fi(x,y)(i=1,2,3)为关于x,y 的二元一次关系式),由上述原理可得方程组 从而求得该定点 .f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,f3(x,y)=0,7已知抛物线 C:x2=2py(p0)过点(2,1),直线 l 过点 P(0,-1)与抛物线 C 交于 A,B 两点 .点 A 关于 y 轴的对称点为 A,连接
10、 AB.(1)求抛物线 C 的标准方程 .(2)直线 AB 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由 .解析 (1)将点(2,1)代入抛物线的方程 x2=2py 中,得 p=2.所以抛物线 C 的标准方程为 x2=4y.(2)设直线 l 的方程为 y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则 A(-x1,y1).由 得 x2-4kx+4=0.y=kx-1,x2=4y, 则 = 16k2-160,x1+x2=4k,x1x2=4,所以 kAB= = = .y2-y1x2-(-x1)x224-x214x2+x1x2-x14所以直线 AB 的方程为 y- = (x-x2),x224x
11、2-x14所以 y= (x-x2)+ = x+1,x2-x14 x224x2-x14当 x=0 时, y=1,所以直线 AB 过定点(0,1) .能力 4 会建立目标函数,并转化为函数的值域或最值等问题求解【例 4】 已知 ABC 的直角顶点 A 在 y 轴上,点 B(1,0),D 为斜边 BC 的中点,且 AD 平行于 x 轴 .(1)求点 C 的轨迹方程 .(2)设点 C 的轨迹为曲线 ,直线 BC 与 的另一个交点为 E.以 CE 为直径的圆交 y 轴于 M,N 两点,记此圆的圆心为 P, MPN= ,求 的最大值 .解析 (1)设点 C 的坐标为( x,y),则 BC 的中点 D 的坐
12、标为 ,点 A 的坐标为(x+12,y2).(0,y2)8所以 = , = .AB(1,-y2)AC(x,y2)由 AB AC,得 =x- =0,即 y2=4x,ABACy24经检验,当 C 点运动至原点时, A 与 C 重合,不合题意,舍去 .所以点 C 的轨迹方程为 y2=4x(x0) .(2)依题意,可知直线 CE 不与 x 轴重合,设直线 CE 的方程为 x=my+1,点 C,E 的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),圆心 P 的坐标为( x0,y0).由 可得 y2-4my-4=0,y2=4x,x=my+1所以 y1+y2=4m,y1y2=-4.所以 x1+x2=m(y1+y
13、2)+2=4m2+2,x0= =2m2+1,x1+x22所以圆 P 的半径 r= |CE|= (x1+x2+2)= (4m2+4)=2m2+2.12 12 12过圆心 P 作 PQ MN 于点 Q,则 MPQ= . 2在 Rt PQM 中,cos = = = =1- , 2|PQ|r x0r2m2+12m2+2 12m2+2当 m2=0,即 CE 垂直于 x 轴时,cos 取得最小值 , 取得最大值 , 2 12 2 3所以 的最大值为 .231.抛物线中的最值问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法求解;二
14、是数形结合法,利用抛物线的图象和几何性质来进行求解 .2.抛物线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围 .(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系 .(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围 .(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围 .(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数并求该函数的值域,从而确定参数的取值范围 .9已知抛物线 M:y2=4x,圆 N:(x-1)2+y2=r2(r0).过点(1,0)的直线 l 交圆 N 于
15、 C,D 两点,交抛物线 M 于 A,B 两点,且满足 |AC|=|BD|的直线 l 恰好有三条,则 r 的取值范围为( ).A. B.(1,2(0,32C.(2,+ ) D.32,+ )解析 由题意可知,当直线斜率不存在时, |AC|=|BD|成立;当直线斜率存在时,此时存在两条直线满足 |AC|=|BD|.设直线 l:x=my+1(m0),由 可得 y2-4my-4=0.y2=4x,x=my+1,由 可得 y2= .x=my+1,(x-1)2+y2=r2, r2m2+1设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由 |AC|=|BD|,得 y1-y3=y2-
16、y4,则 y1-y2=y3-y4,所以 4 = ,m2+12rm2+1故 r=2(m2+1)2,故选 C.答案 C一、选择题1.已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),则 的值一y1y2x1x2定等于( ).A.-4 B.4 C.p2D.-p2解析 若焦点弦 AB x 轴,则 x1=x2= ,不妨设 y10,y20)的焦点为 F,准线为 l,过点 F 的直线与抛物线交于点 M,N,与 y 轴交于点(0, ),与准线 l 交于点 P,点 M 在线段 PF 上,若 |PM|=2|MF|,则 |MN|=( ).3A. B. C. D.94
17、254 83 163解析 由题意可得 M ,则 2p = ,所以 p=2,所以直线 MN 的方程为 y=- (x-1).(p6,233) p643 3由 得 M ,N(3,-2 ),故 |MN|= ,故选 D.y2=4x,y= - 3(x-1), (13,233) 3 163答案 D4.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 M( ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物线的5准线相交于点 C,|BF|=3,则 =( ).S BCFS ACFA. B. C. D.34 45 56 67解析 画出抛物线 y2=4x 的图象如图所示 .11由抛物线方程 y2=4x,得焦点 F 的坐标为(
18、1,0),准线方程为 x=-1.过点 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 E,N.设直线 AC 的方程为 y=k(x- ),5由 消去 y,y2=4x,y=k(x- 5)得 k2x2-(2 k2+4)x+5k2=0.5设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=5.由条件知 |BF|=|BN|=1+x2=3,x 2=2,x 1= ,|AE|=x 1+1= .52 72 在 CBN 中, BN AE, = = = .故选 D.S BCFS ACF|BC|AC|BN|AE|67答案 D5.斜率为 k 的直线过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F,交抛物线于 A,B 两点,点 P(x0,y
19、0)为 AB的中点,作 OQ AB,垂足为 Q,则下列结论中不正确的是( ).A.ky0为定值B. 为定值OAOBC.点 P 的轨迹为圆的一部分D.点 Q 的轨迹为圆的一部分解析 由题意知,抛物线的焦点为 F ,(p2,0)所以直线 l 的方程为 y=k (k0) .(x-p2)由 消去 y,整理得 k2x2-(k2p+2p)x+ =0.y2=2px,y=k(x-p2) k2p24设 A(x1,y1),B(x2,y2),12则 x1+x2= ,x1x2= ,k2p+2pk2 p24所以 y1+y2= ,y1y2=-p2,y0= = .2pk y1+y22 pk选项 A 中, ky0=p,为定值
20、 .故 A 正确 .选项 B 中, =x1x2+y1y2= -p2=- ,为定值,故 B 正确 .OAOBp24 3p24选项 C 中,由 消去 k,得 x0= + ,所以点的轨迹不是圆的一部分,故 C 不正x0=k2p+2p2k2,y0=pk p2y20p确 .选项 D 中,由于 OQ AB,直线 AB 过定点 F ,所以点 Q 在以 OF 为直径的圆上,故 D 正(p2,0)确 .故选 C.答案 C6.已知抛物线 C:y2=4x,过焦点 F 且斜率为 的直线与 C 相交于 P,Q 两点,且 P,Q 两点在准3线上的投影分别为 M,N,则 S MFN=( ).A. B. C. D.83 83
21、3 163 1633解析 由题意可得直线 PQ 的方程为 y= (x-1),与抛物线 y2=4x 联立可得 3x2-310x+3=0.设点 P 在第一象限,所以 P(3,2 ),Q ,则 MN=2 + = .3 (13,-233) 3233 833在 MFN 中, MN 边上的高 h=2,则 S MNF= 2 = , 故选 B.12 833 833答案 B7.过抛物线 C:y2=8x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,且 |AB|=10,则原点到直线 l的距离为( ).A. B. C. D.255 355 455 435解析 由题意知,抛物线 y2=8x 的焦点为 F(2
22、,0),当直线 l 的斜率不存在时,|AB|=2p=8,不合题意;当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-2),由 得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,y=k(x-2),y2=8x 13所以 x1+x2= .4k2+8k2根据抛物线的定义可知 |AB|=x1+x2+p= +4=10,解得 k=2,4k2+8k2当 k=2 时,直线 l 的方程为 2x-y-4=0,所以原点到直线 l 的距离 d= = ,422+1455当 k=-2 时,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,所以原点到直线 l 的距离 d= = ,422+1455综上所述,原点到直线 l 的距离为 ,
23、故选 C.455答案 C8.若过抛物线 x2=4y 焦点的直线与抛物线交于 A,B 两点(不重合),则 (O 为坐标原点)的OAOB值是( ).A. B.- C.3 D.-334 34解析 由题意知,抛物线的焦点为 F(0,1).设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 x2-4kx-4=0,所以x2=4y,y=kx+1,x1x2=-4,y1y2= =1,故 =x1x2+y1y2=-4+1=-3,故选 D.(x1x2)216 OAOB答案 D9.如图,过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作倾斜角为 的直线 l,l 与抛物线及其准线从上到下依次交于 A,B,
24、C 点,令 = 1, = 2,则当 = 时, 1+ 2的值为( ).|AF|BF| |AC|CF| 3A.3 B.4 C.5 D.6解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=x1+x2+2= = .4sin260163x 1+x2= ,又 x1x2= =1,103 p24x 1=3,x2= , = 1= =3,13 |AF|BF| 3+11+13同理可得 = 2= =2,|AC|CF| 3-(-1)1-(-1) 1+ 2=5,故选 C.14答案 C10.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,分别过 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 A1,B1两点,
25、以 A1,B1为直径的圆 C 过点 M(-2,3),则圆 C 的方程为( ).A.(x+1)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=17C.(x+1)2+(y-1)2=5D.(x+1)2+(y+2)2=26解析 抛物线的准线方程为 x=-1,焦点为 F(1,0).当直线 AB 的斜率不存在时,易得圆 C 的方程为( x+1)2+y2=4,不过点 M,不合题意 .当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=k(x-1),联立方程组 y2=4x,y=k(x-1),y 2- y-4=0.4k设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2=-4.4k|y 1-
26、y2|= =4 .(y1+y2)2-4y1y2 1k2+1 以 AB为直径的圆 C 的圆心为 ,半径为 2 .(-1,2k) 1k2+1 圆 C 的方程为( x+1)2+ =4 .(y-2k)2 (1k2+1)把( -2,3)代入圆的方程得 1+ =4 ,解得 k=2.(3-2k)2 (1k2+1) 圆 C 的方程为( x+1)2+(y-1)2=5.故选 C.答案 C二、填空题11.已知抛物线 y=ax2(a0)的焦点到准线的距离为 2,则直线 y=x+1 截抛物线所得的弦长等于 . 解析 由题意知 p= =2,a= , 抛物线的方程为 y= x2,焦点为 F(0,1),准线为 y=-1.12
27、a 14 14联立 消去 x,整理得 y2-6y+1=0.y=14x2,y=x+1,设直线 y=x+1 与抛物线交于 A,B 两点, A(x1,y1),B(x2,y2),y 1+y2=6. 直线 y=x+1 过焦点 F,15 所求弦长 |AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8.答案 812.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 P,Q 两点,与其准线交于点 M,且=3 ,则 | |= . FMFP FP解析 由题意可得交点 P 在点 M,F 之间, |PM|=2|PF|,由抛物线的定义和平面几何知识可得,直线 l 的倾斜角为 60或 120.设直线
28、l 的方程为 y= (x-1),联立3解得 xP= ,所以 | |= .y2=4x,y= 3(x-1), 13 FP43答案 43三、解答题13.已知抛物线 C:y2=2px(1p0)上的点 P(m,1)到其焦点 F 的距离为 .54(1)求抛物线 C 的方程;(2)已知直线 l 不过点 P 且与 C 相交于 A,B 两点,且直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 1,证明:直线 l 过定点 .解析 (1)由题意得 1=2pm,即 m= .12p由抛物线的定义,得 |PF|=m- = + .(-p2)12pp2由题意知, + = ,解得 p= 或 p=2(舍去) .12pp254 12所以抛物
29、线 C 的方程为 y2=x.(2)设直线 PA 的斜率为 k(显然 k0),则直线 PA 的方程为 y-1=k(x-1),即 y=k(x-1)+1.由 消去 y,并整理得 k2x2+2k(1-k)-1x+(1-k)2=0.y2=x,y=k(x-1)+1设 A(x1,y1),由韦达定理,得 1x1= ,(1-k)2k2所以 x1= ,(1-k)2k2y1=k(x1-1)+1=k +1=-1+ ,所以 A .(1-k)2k2 -1 1k (1-k)2k2 ,-1+1k)由题意知,直线 PB 的斜率为 .1k同理可得 B ,(1-1k)2(1k)2,-1+11k)即 B(k-1)2,-1+k).16若直线 l 的斜率不存在,则 =(k-1)2,解得 k=1 或 k=-1.(1-k)2k2当 k=1 时,直线 PA 与直线 PB 的斜率均为 1,A,B 两点重合,与题意不符;当 k=-1 时,直线 PA 与直线 PB 的斜率均为 -1,A,B 两点重合,与题意不符 .所以直线 l 的斜率必存在 .所以直线 l 的方程为 y-(-1+k)= x-(k-1)2,即 y= x-1.k(k-1)2 k(k-1)2所以直线 l 过定点(0, -1).
