1、117 直线方程与圆的方程1.已知三点 A(1,-2),B(a,-1),C(-b, 0)共线,则 + (a0,b0)的最小值为( ).1+2aa 2+bbA.11 B.10 C.6 D.4解析 由题意知, kAB=kBC,所以 2a+b=1,所以 + =3+ + =3+ (2a+b)1+2aa 2+bb 1a2b (1a+2b)=3+4+ + 7 +2 =11,当且仅当 a= ,b= 时等号成立,故选 A.4abba 4abba 14 12答案 A2.圆( x-2)2+y2=4 关于直线 y= x 对称的圆的方程是( ).33A.(x- )2+(y-1)2=43B.(x- )2+(y- )2=
2、42 2C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y- )2=43解析 设所求圆的圆心为( a,b),则 所以 所以所求圆的方b2= 33a+22,ba-2= - 3, a=1,b= 3,程为( x-1)2+(y- )2=4,故选 D.3答案 D3.若圆 x2+y2+4x-2y-a2=0 截直线 x+y+5=0 所得弦的长度为 2,则实数 a=( ).A.2 B.-2 C.4 D.4解析 圆的标准方程为( x+2)2+(y-1)2=5+a2,则圆心坐标为( -2,1),半径 r= .a2+5所以圆心到直线 x+y+5=0 的距离为 =2 .|-2+1+5|2 2由 1+(2 )2=5+a2
3、,得 a=2,故选 A.2答案 A4.已知 AB 为圆 C:x2+y2-2y=0 的直径,点 P 为直线 y=x-1 上任意一点,则 |PA|2+|PB|2的最小值为 . 解析 圆心 C(0,1),设 PCA= ,|PC|=m,则 |PA|2=m2+1-2mcos ,|PB|2=m2+1-2mcos( - )=m2+1+2mcos ,|PA| 2+|PB|2=2m2+2.2又点 C 到直线 y=x-1 的距离 d= = ,即 m 的最小值为 ,|PA| 2+|PB|2的最|0-1-1|2 2 2小值为 2( )2+2=6.2答案 6能力 1 会用直线方程判断两条直线的位置关系【例 1】 已知直
4、线 l1:(3+m)x+4y=5-3m 与 l2:2x+(m+5)y=8,则“ l1 l2”是“ m D.k15 12解析 设直线 l 的斜率为 k,则直线方程为 y-2=k(x-1),令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距为 1- .2k由 -3 ,故选 D.2k 12答案 D2.已知圆 C:(x-a)2+y2=1 与抛物线 y2=-4x 的准线相切,则 a 的值是( ).A.0 B.2 C.0 或 1 D.0 或 2解析 圆心坐标为( a,0),准线方程为 x=1,所以 |a-1|=1,解得 a=0 或 a=2,故选 D.答案 D73.已知直线 3x+4y+3=0 与直线 6x+my-
5、14=0 平行,则它们之间的距离是( ).A.2 B.8 C. D.175 1710解析 直线方程 6x+my-14=0 可化为 3x+ y-7=0,所以两条平行直线之间的距离 d=m2=2,故选 A.|3-(-7)|5答案 A4.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( ).A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4解析 AB 的垂直平分线为 y=x,直线 y=x 与 x+y-2=0 的交点是(1,1),即圆的圆心坐标为(1,1),故半径 r= =2,故选
6、C.(1-1)2+1-(-1)2答案 C5.若过点(3,1)作圆( x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( ).A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0解析 由过点(3,1)作圆( x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,得点(3,1)在圆上,代入可得 r2=5,圆的方程为( x-1)2+y2=5,则得过点(3,1)的切线方程为( x-1)(3-1)+y(1-0)=5,即2x+y-7=0,故选 B.答案 B6.已知过原点的直线 l 与圆 C:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 D 的坐标为
7、(2, ),则弦长 |AB|为( ).2A.2 B.3 C.4 D.5解析 圆 C:x2+y2-6x+5=0,整理得其标准方程为( x-3)2+y2=4, 圆 C 的圆心坐标为(3,0),半径为 2. 线段 AB 的中点为 D(2, ),2|CD|= = ,1+2 3|AB|= 2|AD|=2 =2,故选 A.4-38答案 A7.已知圆 O1的方程为 x2+(y+1)2=6,圆 O2的圆心坐标为(2,1) .若两圆相交于 A,B 两点,且|AB|=4,则圆 O2的方程为( ).A.(x-2)2+(y-1)2=6B.(x-2)2+(y-1)2=22C.(x-2)2+(y-1)2=6 或( x-2
8、)2+(y-1)2=22D.(x-2)2+(y-1)2=36 或( x-2)2+(y-1)2=32解析 设圆 O2的方程为( x-2)2+(y-1)2=r2(r0),因为圆 O1的方程为 x2+(y+1)2=6,所以直线 AB 的方程为 4x+4y+r2-10=0,所以圆心 O1到直线 AB 的距离 d= .|r2-14|42由 d2+22=6,得 =2,(r2-14)232所以 r2-14=8,r2=6 或 r2=22.故圆 O2的方程为( x-2)2+(y-1)2=6 或( x-2)2+(y-1)2=22,故选 C.答案 C8.已知圆 C 的方程为( x-1)2+y2=r2(r0),若 p
9、:1 r3; q:圆 C 上至多有 3 个点到直线 x-y+3=0 的距离为 1,则 p 是 q 的( ).3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 圆心 C(1,0)到直线 x- y+3=0 的距离 d= =2,当 r=1 时,圆上恰3|1- 30+3|1+3有一个点到直线的距离为 1;当 10),半径为 r,所以 解得(a-2)2=r2,a2+(0+1)2=r2,a2+(0-1)2=r2, a=34,r2=2516.故圆 E 的标准方程为 +y2= ,故选 C.(x-34)2 2516答案 C10.已知直线 l:x+y-1=0 被圆 O:x2+y2=r
10、2(r0)所截得的弦长为 ,交点为 M,N,且直线14l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0 过定点 P,若 PM PN,则 |MN|的取值范围为( ).A.2- ,2+ 2 3B.2- ,2+ 2 2C. - , + 6 2 6 3D. - , + 6 2 6 2解析 由题意知,2 = ,解得 r=2.r2-12 14因为直线 l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,所以点 P 的坐标为(1,1) .设 MN 的中点为 Q(x,y),则 OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即 4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得+ = ,所以点 Q 的轨迹是以 为圆心, 为半径的
11、圆,所以 |PQ|的取值范围(x-12)2(y-12)232 (12,12) 62为 .又 |MN|=2|PQ|,所以 |MN|的取值范围为 - , + ,故选 D.6- 22 ,6+ 22 6 2 6 2答案 D二、填空题11.已知点 A(-2,0),P 为圆 C:(x+4)2+y2=16 上任意一点,若在 x 轴上存在点 B 满足2|PA|=|PB|,则点 B 的坐标为 . 10解析 设 B(a,0),P(x,y),则 2 = ,整理得到(x+2)2+y2 (x-a)2+(y-0)23x2+3y2+(16+2a)x+16-a2=0.又 P(x,y)在圆 C:(x+4)2+y2=16 上,则
12、 x2+y2+8x=0,从而解得 a=4.故点 B 的坐标为(4,0) .16-a2=0,31=16+2a8 ,答案 (4,0)12.已知圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:(x-2)2+(y-4)2=1,过动点 P(a,b)分别作圆 C1、圆 C2的切线PM、 PN(M、 N 分别为切点),若 PM=PN,则 的最小值是 . (a-5)2+(b+1)2解析 在 Rt PMC1与 Rt PNC2中, PM=PN,MC1=NC2=1,所以 Rt PMC1与 Rt PNC2全等,所以 PC1=PC2,则点 P 在线段 C1C2的垂直平分线上,根据 C1(0,0),C2(2,4)可求得其垂直平分线
13、的方程为 x+2y-5=0.因为 表示 P(a,b),Q(5,-1)两点间的距离,所(a-5)2+(b+1)2以最小值就是点 Q 到 x+2y-5=0 的距离,利用点到直线的距离公式可求出最小值为 .255答案 255三、解答题13.已知椭圆 C: + =1(ab0)的一个焦点为( ,0),A 为椭圆 C 的右顶点,以 A 为圆心的圆x2a2y2b2 3A 与直线 y= x 相交于 P,Q 两点,且 =0, =3 ,求椭圆 C 的标准方程和圆 A 的方程 .ba APAQ OPOQ解析 设 T 为线段 PQ 的中点,连接 AT,则 AT PQ. =0,即 AP AQ,APAQ|AT|= |PQ|.12又 =3 ,则 |OT|=|PQ|,OPOQ = ,即 = .|AT|OT|12 ba12由 c= ,得 a2=4,b2=1,3故椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.x24又 |AT|2+|OT|2=a2=4,则 |AT|2+4|AT|2=4,|AT|= ,r=|AP|= ,255 2105故圆 A 的方程为( x-2)2+y2= .85
