1、107 等差数列与等比数列1.已知 an是等比数列, an0,且 +a3a7=8,则 log2a1+log2a2+log2a9=( ).a25A.8 B.9 C.10 D.11解析 +a3a7=8,an0,且 an是等比数列,a25 2 =8,a 5=2.a25 log2a1+log2a2+log2a9=log2(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=log2 =9log22=9,故选a95B.答案 B2.在等比数列 an中, an0, , , +1 成等差数列,且 a1+2a2=2,则数列 an的通项公式为 .1a11a21a2解析 设等比数列 an的公比为 q,由 an0 知
2、 q0,由题意得 + = ,即 a1-1a1(1a2+1)2a2a2=a1a2,a 1q=1-q.又 a1+2a2=2,a 1+2a1q=2.由 解得 或 (舍去),a1q=1-q,a1+2a1q=2, a1=1,q=12 a1= -2,q= -1 数列 an的通项公式为 an= .(12)n-1答案 an=(12)n-13.如图所示的是“杨辉三角”数图,计算第 1 行的 2 个数的和,第 2 行的 3 个数的和,第 3 行的 4 个数的和,则第 n 行的 n+1 个数的和为 . 1 1 第 1 行1 2 1 第 2 行1 3 3 1 第 3 行1 4 6 4 1 第 4 行2解析 1+1=2
3、,1+2+1=4,1+3+3+1=8,1+4+6+4+1=16,则第 n 行的 n+1 个数的和为 2n.答案 2n4.已知数列 an的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且 Sn= ,nN *.an(an+1)2(1)求证:数列 an是等差数列 .(2)设 bn= ,Tn=b1+b2+bn,求 Tn.12Sn解析 (1)S n= ,nN *,an(an+1)2 当 n=1 时, a1=S1= (a10),a1(a1+1)2解得 a1=1;当 n2 时,由 2Sn=a2n+an,2Sn-1=a 2n-1+an-1,得 2an= +an- -an-1,a2n a 2n-1即( an+an-1)(
4、an-an-1-1)=0,a n+an-10,a n-an-1=1(n2) . 数列 an是首项为 1,公差为 1 的等差数列 .(2)由(1)可得 an=n,Sn= ,n(n+1)2bn= = = - .12Sn 1n(n+1)1n 1n+1T n=b1+b2+b3+bn=1- + - + -121213 1n 1n+1=1- = .1n+1 nn+1能力 1 等差、等比数列的基本运算3【例 1】 设 Sn为等比数列 an的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列,则 an= .解析 (法一)设等比数列 an的公比为 q(q0),则 2S2=2(a1+a2)=2(a1+
5、a1q),S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.因为 3S1,2S2,S3成等差数列,所以 3a1+a1+a1q+a1q2=4(a1+a1q),解得 q=3,故 an=3n-1.(法二)设等比数列 an的公比为 q,由 3S1,2S2,S3成等差数列,易得 q1,所以 4S2=3S1+S3,即 =3a1+ ,4a1(1-q2)1-q a1(1-q3)1-q解得 q=3,故 an=3n-1.答案 3n-1在等差(比)数列问题中,最基本的量是首项 a1和公差 d(公比 q),在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组,从而求出这两个量,那么其他问题也就会迎刃而解,这就是解决等差(比
6、)数列问题的基本量的方法,其中蕴含着方程思想的运用 .在应用等比数列前n 项和公式时,务必注意公比 q 的取值范围 .1.已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn,a1+a3=30,S4=120,设 bn=1+log3an,则数列 bn的前15 项和为( ).A.152 B.135 C.80 D.16解析 设等比数列 an的公比为 q,由 a1+a3=30,a2+a4=S4-(a1+a3)=90,得公比q= =3,首项 a1= =3,所以 an=3n,bn=1log+33n=1+n,则数列 bn是等差数列,其前 15 项a2+a4a1+a3 301+q2和为 =135.故选 B.15(2+16
7、)2答案 B2.设 an是首项为 a1,公差为 -1 的等差数列, Sn为其前 n 项和 .若 S1,S2,S4成等比数列,则 a1=( ).4A.2 B.-2 C. D.-12 12解析 由题意知 S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.因为 S1,S2,S4成等比数列,所以 =S1S4,即(2 a1-1)2=a1(4a1-6),S22解得 a1=- .故选 D.12答案 D能力 2 等差、等比数列的基本性质【例 2】 (1)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 S150,S160,S16= =8(a8+a9)0,a9a2a80,所以 00,即 0,且 a3a2n-3=22
8、n(n2),则当 n1 时,log2a1+log2a2+log2a3+log2a2n-1= . 解析 log 2a1log+2a2log+2a3+log+2a2n-1log=2(a1a2a3a2n-1).设 S=a1a2a3a2n-1,则 S= a2n-2a2n-3a1.a2n-1两式相乘,得 S2=(a3a2n-3)2n-1=22n(2n-1),所以 S=2n(2n-1),故原式 =n(2n-1).答案 n(2n-1)2.已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 = . S6S3 S9S6解析 显然公比 q1,则由 = = =1+q3=3,得 q3=2,S6S3a1(1-q6)
9、1-qa1(1-q3)1-q 1-q61-q3所以 = = = .S9S61-q91-q61-231-2273答案 73能力 3 等差、等比数列的判断与证明【例 3】 已知数列 an的前 n 项和 Sn= (an-1),其中 0 .(1)证明 an是等比数列,并求其通项公式;(2)当 = 2 时,求 a2i.ni=1解析 (1)由题意得 a1=S1= (a1-1),故 1, a1= ,a10 . -1由 Sn= (an-1),Sn+1= (an+1-1),得 an+1=a n+1-a n,即 an+1(- 1)=a n.6由 a10, 0,得 an0,所以 = ,an+1an -1因此 an是
10、首项为 ,公比为 的等比数列, -1 -1于是 an= .( -1)n(2)由(1)可知,当 = 2 时, an=2n,故 a2i=a2+a4+a2n= = .ni=1 4(1-4n)1-4 4(4n-1)3判断或证明数列是否为等差、等比数列,一般是依据等差、等比数列的定义,或利用等差中项、等比中项进行判断 .利用 =an+1an-1(n2, nN *)来证明数列 an为等比数列时,a2n要注意数列中的各项均不为 0.记 Sn为等比数列 an的前 n 项和,已知 a3=-8,S3=-6.(1)求数列 an的通项公式;(2)求 Sn,并证明对任意的 nN *,Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列
11、.解析 (1)设数列 an的公比为 q,由题设可得 解得a1q2= -8,a1(1+q+q2)= -6, q= -2,a1= -2,故数列 an的通项公式为 an=(-2)n.(2)由(1)可得 Sn= =- +(-1)n .a1(1-qn)1-q 23 2n+13由于 Sn+2+Sn+1=- +(-1)n =2 =2Sn,43 2n+3-2n+23 -23+(-1)n2n+13故 Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列 . 能力 4 公式 an= 的应用S1(n=1),Sn-Sn-1(n 2,n N*)【例 4】 设数列 an的前 n 项和为 Sn,已知 a1= ,Sn+1=S n+ (nN *
12、),其中常数 1.(1)求证:数列 an是等比数列 .7(2)若数列 bn满足 bn= log (a1a2an)(nN *),求数列 bn的通项公式 .1n解析 (1)当 n=1 时, S2=S 1+ ,即 a2= 2, =.a2a1当 n2 时, Sn=S n-1+ ,a n+1=Sn+1-Sn= (Sn-Sn-1)=a n,即 = (n2) .an+1an又 = ,a2a1 数列 an是首项为 ,公比为 的等比数列 .(2)由(1)得 an= n,a 1a2an= 1+2+n= ,n(n+1)2b n= log = .1n n(n+1)2 n+12解这种题目的一般方法是用“退位相减法”消去
13、 Sn(或者 an),得到数列 an的递推公式(或者是数列 Sn的递推公式),进而求出 an(或者 Sn)与 n 的关系式 .设 Sn是数列 an的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 解析 由已知得 an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,易知 Sn0,等式两边同时除以 Sn+1Sn,得 -1Sn+1=-1,故数列 是以 -1 为首项, -1 为公差的等差数列,则 =-1-(n-1)=-n,所以 Sn=- .1Sn 1Sn 1Sn 1n答案 -1n一、选择题1.Sn是等差数列 an的前 n 项和,若 S7-S2=45,则 S9=( ).A.54 B.63 C.
14、72 D.81解析 (法一) S 7-S2=45,a 3+a4+a5+a6+a7=45,8 5a5=45,a5=9,S 9= =9a5=81.9(a1+a9)2(法二) S 7-S2=45, 7a1+21d-(2a1+d)=45,即 a1+4d=9,S 9=9a1+36d=9(a1+4d)=99=81,故选 D.答案 D2.已知数列 an满足 a1=2,an+1= (nN *),则 a2019=( ).11-anA.-2 B.-1 C.2 D.12解析 数列 an满足 a1=2,an+1= (nN *),11-ana 2= =-1,a3= = ,a4= =2,可知此数列具有周期性 ,周期为 3
15、,即 an+3=an,11-2 11-(-1)12 11-12则 a2019=a3= .故选 D.12答案 D3.若 Sn为数列 an的前 n 项和,且 Sn= ,则 等于( ).nn+1 1a5A. B. C. D.3056 65 130解析 当 n2 时, an=Sn-Sn-1= - = ,nn+1n-1n 1n(n+1) =5(5+1)=30.故选 D.1a5答案 D4.已知等比数列 an中, a2=2,a6=8,则 a3a4a5=( ).A.64 B.64 C.32 D.16解析 因为 a2=2,a6=8,所以由等比数列的性质可知 a2a6= =16,而 a2,a4,a6同号,所以a2
16、4a4=4,所以 a3a4a5= =64,故选 B.a34答案 B5.已知 an是公差为 4 的等差数列, Sn是其前 n 项和 .若 S5=15,则 a10的值是( ).A.11 B.20 C.29 D.319解析 因为 S5=15,所以 5a1+ 4=15,所以 a1=-5,所以 a10=a1+9d=31,故选 D.542答案 D6.观察下列各图,并阅读图形下面的文字 .像这样,10 条直线相交,最多可形成的交点的个数是( ).A.40 B.45 C.50 D.55解析 (法一) n+1(nN *)条直线相交,当 n=1,2,3,k,时,最多可形成的交点个数分别是 1,1+2,1+2+3,
17、1+2+3+k,. 10 条直线相交,最多可形成的交点的个数是 1+2+9=45.(法二)设 n(n2, nN *)条直线相交,最多可形成的交点个数为 an,则 累a3-a2=2,a4-a3=3,a10-a9=9,加得 a10-a2=2+3+9,a 10=1+2+3+9=45.故选 B.答案 B7.张丘建算经中“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里 .问日行几何?”意思是“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走 7 天,共走了700 里路,问每天走的里数为多少?”则该匹马第一天走的里数为( ).A. B.128127 44800127C. D.700127 17
18、532解析 由题意知这匹马每日所走的路程成等比数列,设该数列为 an,则公比 q= ,前127 项和 S7=700.由等比数列的求和公式得 =700,解得 a1= ,故选 B.a1(1-127)1-12 44800127答案 B8.已知等差数列 an,bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 = ,则 =( ).SnTn5n+2n+3 a2+a20b7+b15A. B.10724 72410C. D.14912 1493解析 (法一)设 Sn=5n2+2n,则 Tn=n2+3n.当 n=1 时, a1=7;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=10n-3.a 1=7 符合上式,a n=10n-
19、3.同理 bn=2n+2. = .故选 A.a2+a20b7+b1510724(法二)由 = ,anbnS2n-1T2n-1得 = = = = .故选 A.a2+a20b7+b15a11b11S21T21521+221+3 10724答案 A9.已知数列 an的通项公式为 an= ,若数列 an为递减数列,则实数 k 的取值范围为( ).3n+k2nA.(3,+ ) B.(2,+ )C.(1,+ ) D.(0,+ )解析 因为 an+1-an= - = ,所以由数列 an为递减数列知,对任意3n+3+k2n+1 3n+k2n 3-3n-k2n+1nN *,an+1-an= 3-3n 对任意 n
20、N *恒成立,所以 k(0, + ).故选 D.3-3n-k2n+1答案 D二、填空题10.在等比数列 an中,若 a1= ,a4=-4,则 |a1|+|a2|+|an|= . 12解析 设等比数列 an的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据得 q3=-8,所以 q=-2.又等比数列 |an|的公比为 |q|=2,所以 |an|= 2n-1,所以 |a1|+|a2|+|a3|+|an|= (1+2+22+2n-1)=12 12(2n-1)=2n-1- .12 12答案 2n-1-1211.设等差数列 5, , , ,的前 n 项和为 Sn,则当 Sn最大时, n= . 307257207解
21、析 (法一)设该等差数列为 an,11 公差 d= -5=- ,a1=5,307 57a n=5+(n-1) =- + .(-57) 5n7407要使 Sn最大,则 即an 0,an+1 0, -5n7+407 0,-5(n+1)7 +407 0,解得 7 n8 .又 nN *,n= 7 或 n=8.(法二) 公差 d= -5=- ,首项为 5,307 57S n=5n+ n(n-1)2 (-57)=- n2+ n5147514=- + .514(n-152)2112556 当 n 取最接近 的整数时, Sn最大,即当 n=7 或 n=8 时, Sn最大 .152答案 7 或 812.在计算机
22、语言中,有一种函数 y=INT(x)叫作取整函数,它表示不超过 x 的最大整数,如INT(0.9)=0,INT(3.14)=3.已知 =0. 8571 ,令 an=INT ,b1=a1,bn=an-10an-1(n127 2 4 (2710n)且 nN *),则 b2019= . 解析 依题意得 a1=2,a2=28,a3=285,a4=2857,a5=28571,a6=285714,a7=2857142,所以 b1=a1=2.又 bn=an-10an-1,所以 b2=8,b3=5,b4=7,b5=1,b6=4,b7=2,可知数列 bn是周期为6 的周期数列 .而 2019=3366+3,所以
23、 b2019=b3=5.答案 5三、解答题13.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=an+1-2,a1=2.(1)证明 an是等比数列,并求其通项公式;(2)若数列 bn满足 = (nN *),证明: bn是等差数列 .4b1-1 4b2-1 4bn-1abnn解析 (1)当 n2 时,由 Sn=an+1-2,得 Sn-1=an-2,12两式相减,得 an+1=2an,即 =2.an+1an又 S1=a2-2,a1=2,a 2=S1+2=4,满足 =2,a2a1 =2 对任意的 nN *都成立 .an+1an an是首项为 2,公比为 2 的等比数列 .a n=2n.(2) = ,4b1-1 4b2-1 4bn-1abnn = ,4b1+b2+bn-n2nbn 2(b1+b2+bn)-n=nbn, 2(b1+b2+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1, 由 - 得 2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,即( n-1)bn+1-nbn+2=0, nb n+2-(n+1)bn+1+2=0, 由 - 得 nbn+2-2nbn+1+nbn=0,b n+2-2bn+1+bn=0,即 bn+2-bn+1=bn+1-bn(nN *), 是等差数列 .bn
