1、106 三角恒等变换与解三角形1.已知 = ,则 tan + =( ).cos22sin( -4) 52 1tanA.- B.-818C. D.818解析 因为 = =-(cos + sin )= ,cos22sin( -4)cos2 -sin2sin -cos 52所以 sin cos = ,18而 tan + = + = =8,故选 D.1tan sincos cossin 1sin cos答案 D2.在 ABC中,角 A,B,C所对的边长分别为 a,b,c,其中 ba且 2asin(A+B)= c,则角 A等3于( ).A. B. 或3 3 23C. D. 或6 6 56解析 由诱导公式
2、可得 sin(A+B)=sin( -C)=sin C,利用正弦定理可得 2sin AsinC= sin C,解得 sin A= ,332即 A= 或 A= ,3 23又 ba,所以 A= ,故选 A.3答案 A3.在 ABC中, a,b,c分别是角 A,B,C的对边,若 a,b,c成等比数列,且 a2-ab=c2-ac,则 cos C的值为( ).A. B.-12 12C. D.-32 322解析 由 a,b,c成等比数列得 b2=ac,代入 a2-ab=c2-ac,得 a2+b2-c2=ab,则 cos C= = = ,故选 A.a2+b2-c22ab ab2ab12答案 A4.一个大型喷水
3、池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的 A处测得水柱顶端的仰角为 45,沿 A向北偏东 30方向前进 100 m后到达 B处,在 B处测得水柱顶端的仰角为 30,则水柱的高度为 . 解析 如图所示, DC平面 ABC,AB=100 m, DBC=30, DAC=45, CAB=60.设CD=h m,则 AC=h m,同理可得 BC= h m.3在 ABC中, BC2=AC2+AB2-2ACABcos 60,则( h)2=h2+1002-2h100 ,312化为 h2+50h-5000=0,解得 h=50,因此水柱的高度是 50 m.答案 50 m能力 1
4、能熟练进行三角恒等变换和求值【例 1】 (1)设 , ,且 tan = ,则( ).(0,2) (0,2) 1+sincosA.3-= B.3+=2 2C.2-= D.2+=2 23(2)已知 cos = , ,cos = , (0,),则 cos(- 2 )的值为 .( +4) 210 (0,2) 13解析 (1)由 tan = ,得 = ,即 sin cos = cos + sin cos 1+sincos sincos 1+sincos ,所以 sin(- )=cos .又 cos = sin ,(2- )所以 sin(- )=sin .(2- )因为 , ,(0,2) (0,2)所以
5、- 0, 0,0 . b2+9-a22b3 b2+9-4b26b 9-3b26b 3b+ca ,即 b+32b,b 3. 14由 得 b的取值范围是( ,3).313.在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且满足 = .2c-ba cosBcosA(1)求角 A的正弦值;(2)若 a=2 ,求 ABC面积的最大值 .5解析 (1) = ,2c-ba cosBcosA cos A=acosB.(2c-b)由正弦定理得 cos A=sin AcosB,(2sinC-sinB)整理得 2sin CcosA-sin BcosA=sin AcosB, 2sin CcosA=sin AcosB+sinBcosA=sin C.在 ABC中,sin C0, cos A= , sin A= .12 32(2)由余弦定理得 cos A= = ,b2+c2-a22bc 12a= 2 .5b 2+c2-20=bc2 bc-20,bc 20,当且仅当 b=c时,取等号 . ABC的面积 S= bcsinA5 ,12 3 ABC面积的最大值为 5 .3
