1、105 三角函数的图象与性质1.已知角 的终边经过点 P(-5,-12),则 sin 的值等于( ).(32+ )A.- B.- C. D.513 1213 513 1213解析 因为角 的终边经过点 P(-5,-12),由三角函数的定义可知 cos = = =- ,xr -5(-5)2+(-12)2 513所以 sin =-cos = .(32+ ) 513答案 C2.已知函数 f(x)=sin(x+ )( 0),满足 f(x1)=-1,f(x2)=0,且 |x1-x2|的最小值为 ,则4= ( ).A.2 B.1 C. D.412解析 由题意可知 |x1-x2|的最小值为 ,所以 T= 4
2、=,所以 = =2,故选 A.T4 4 2答案 A3.将函数 y=cos 3x的图象向左平移 个单位长度,所得图象对应的函数解析式是( ).4A.y=cos(3x+4)B.y=cos(3x-4)C.y=cos(3x-34)D.y=cos(3x+34)解析 由函数图象的平移规则可知 y=cos 3x的图象向左平移 个单位长度得到4y=cos 3 的图象,即所求函数解析式是 y=cos ,故选 D.(x+4) (3x+34)答案 D4.给出下列结论: 函数 y=sin(k -x)(kZ)为奇函数;2 函数 y=tan 的图象关于点 对称;(2x+6) (12,0) 函数 y=cos 的图象的一条对
3、称轴为直线 x=- ;(2x+3) 23 若 tan( -x)=2,则 sin2x= .15其中正确结论的序号为 . 解析 y=sin(k -x)=(-1)k-1sin x是奇函数,故 正确;tan = ,故 不正确;(212+6) 3cos =-1,故 正确;2(-23)+3tan( -x)=-tan x=2,tan x=-2,sin2x= = = ,故 不正确 .sin2xsin2x+cos2x tan2xtan2x+145综上,正确结论的序号为 .答案 能力 1 能运用三角函数的图象和性质解决问题【例 1】 已知函数 f(x)=2 sin xcosx+2cos2x+m-1在 上的最小值为
4、 -2.3 0,2(1)求 m的值及 f(x)图象的对称轴;(2)求 f(x)的单调递增区间 .解析 (1)由已知得 f(x)= sin 2x+cos 2x+m=2sin +m.3 (2x+6) 0 x , 2 x+ ,2 6 6 76 当 2x+ = ,即 x= 时, f(x)min=2 +m=-2,676 2 (-12)m=- 1,此时 f(x)=2sin -1.(2x+6)由 2x+ =k + (kZ),解得 x= + (kZ),6 2 k2 6f (x)图象的对称轴为直线 x= + (kZ) .k2 6(2)由 - +2k2 x+ +2k( kZ),可得 - +k x +k( kZ),
5、2 6 2 3 63f (x)的单调递增区间为 (kZ) .-3+k ,6+k 有关函数 y=Asin(x+ )+B的性质及应用问题的求解思路:第一步,先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(x+ )+B的形式;第二步,把“ x+ ”视为一个整体,借助复合函数性质求解 y=Asin(x+ )+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题 .已知函数 f(x)=sin ,则下列结论正确的是( ).(2x+3)A.f(x)的图象关于直线 x= 对称3B.f(x)的图象关于点 对称(4,0)C.把 f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到一个偶函数的图象12D.f(x)的最小正周
6、期为 ,且在 上为增函数0,6解析 把 x= 代入函数 f(x)的解析式得 f =sin =0,故 A不正确;3 (3)把 x= 代入函数 f(x)的解析式得 f =sin =cos = 0,故 B不正确;4 (4) (2+3) 312函数 f(x)=sin 的图象向左平移 个单位长度,得到 g(x)(2x+3) 12=sin =sin =cos 2x的图象, g(x)是偶函数,故 C正确;2(x+12)+3 (2x+6+3)由题意知函数 f(x)的最小正周期为 ,令 2k - 2 x+ 2 k + (kZ),解得 k -2 3 2 x k + (kZ),所以函数 f(x)的单调递增区间为 (
7、kZ) .令 k=0,得512 12 k -512,k +12- x ,令 k=1,得 x ,所以函数 f(x)在 上为增函数是错误的,故 D不正确 .故512 12 712 1312 0,6选 C.答案 C能力 2 会根据三角函数的图象求其解析式4【例 2】 已知函数 y=Asin(x+ )(A0, 0)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为( ).A.y=2sin(2x-6)B.y=2sin (2x-3)C.y=2sin(2x+6)D.y=2sin(2x+3)解析 (法一)由图象知 = - = ,故 T=,因此 = =2.又图象的一个最高点T23(-6)2 2的坐标为 ,所以 A=2,且
8、2 += 2k + (kZ),故 = 2k - (kZ),结合选项可知(3,2) 3 2 6y=2sin .(2x-6)(法二)当 x= ,y=2时,排除 B,C,D.故选 A.3答案 A已知图象求解析式 y=Asin(x+ )+B(A0, 0)的方法:(1)A= ,B= .ymax-ymin2 ymax+ymin2(2)已知函数的周期 T,则 = .2T(3)求 的常用方法: 代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入解析式( A, ,B已知)求解 . 五点法:确定 值时,一般以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口 .具体如下:“第一点”满足 x+= 0;“第二点”满足 x+= ;“第三点”满
9、足 x+= ;“第四2点”满足 x+= ;“第五点 ”满足 x+= 2 .325已知函数 f(x)=Asin(x+ )(A0, 0,| 0)的图象一般有两个途径:途径一,先平移变换,再伸缩变换 .先将 y=sin x的图象向左( 0)或向右( 0)倍,得到 y=sin(x+ )的图1象 .途径二,先伸缩变换,再平移变换 .先将 y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的( 0)倍,再沿 x轴向左( 0)或向右( 0,h(1)=m0, =1-8(m-1)0, 98故 m的取值范围是 .(1,98)解决三角函数的综合问题,要注意整体思想、数形结合思想的运用 .如对于sin(x+ )型的函数,先视
10、“ x+ ”为整体,再利用 sin x的性质来求解 .a2+b2已知函数 y=Asin(x+ ) 的图象过点 P ,且图象上与(A0, 0,| |0, 0,| 0, 为常数)的图象关于直线 x= 对称,且 f22=1,f(x)在 上单调,则 的可能取值的个数为( ).(38) -38,-4A.2 B.3C.4 D.5解析 函数 f(x)= sin(x+ )(其中 0, 为常数)的图象关于直线 x= 对称,22 当 x= 时,函数 f(x)取得最大值或最小值,即 += +k, kZ . 2 2 2f =1, sin = ,(38) (38 + ) 22即 += +2k 或 += +2k, kZ
11、. 38 4 38 34f (x)在 上是同一单调区间,-38,-4 0,| |0,的部分图象如图所示, 0,| |2)给出下列结论: f (x)的最小正周期为 ; f (0)=2; 是 f(x)图象的一个对称中心;(56,0) 将 f(x)的图象向左平移 个单位长度,所得到的图象对应的函数是偶函数 .其中正确的结6论是 .(填序号) 解析 A= 2, = - ,T= , = =2.T47123 2 2 += +2k, kZ, = ,712 32 3f (x)=2sin .(2x+3)f (x)的最小正周期为 , f(0)=2sin = ,3 3 正确, 错误 .f =2sin =2sin 2
12、 =0, 正确 .(56) (53+3)将 f(x)的图象向左平移 个单位长度得到 g(x)的图象, g(x)6=2sin =2sin ,该函数不是偶函数, 错误 .因此正确的结论是 .2(x+6)+3 (2x+23)答案 12.将函数 f(x)=2sin 的图象先向左平移 个单位长度,再向下平移 2个单位长度,(2x+6) 12得到 g(x)的图象,若 g(x1)g(x2)=16,且 x1,x2 -2,2,则 x1-x2的最大值为 . 解析 函数 f(x)=2sin 的图象向左平移 个单位长度,可得 y=2sin(2x+6) 12的图象,再向下平移 2个单位长度,得到 g(x)=2sin -
13、2的图象 .(2x+3) (2x+3)又 g(x1)g(x2)=16,且 x1,x2 -2,2,则 g(x1)=g(x2)=-4.令 g(x)=-4,得 2x+ =- +2k, kZ,即 x=- +k, kZ .3 2 51214由 x1,x2 -2,2,得 x1,x2 -1712,-512,.712,1912当 x1= ,x2=- 时, x1-x2取得最大值,最大值为 3 .1912 1712答案 3三、解答题13.已知函数 f(x)=2cos sin x-(sin x-cos x)2.(2-x)(1)若 x0,求函数 f(x)的值域;(2)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
14、 2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)的图象的对称中心坐标 .4解析 (1)f(x)=2cos sin x-(sin x-cos x)2(2-x)=2sin2x-sin2x+2sin xcosx-cos2x=sin2x-cos2x+2sin xcosx=sin 2x-cos 2x= sin .2 (2x-4)因为 x0,所以 - 2 x- ,4 4 74所以 -1 sin ,2 (2x-4) 2故函数 f(x)的值域是 -1, .2(2)由(1)知 f(x)= sin ,2 (2x-4)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),得到 y= sin2的图象,(x-4)再把得到的图象向左平移 个单位长度,得到 g(x)= sin x的图象,4 2所以函数 g(x)= sin x的图象的对称中心是( k,0)( kZ) .2
