1、103 导数及其应用1.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程为 x-y+2=0,则 f(1)+f(1)=( ).A.1 B.2C.3 D.4解析 由条件知(1, f(1)在直线 x-y+2=0 上,且 f(1)=1,f (1)+f(1)=3+1=4,故选D.答案 D2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a 在 x=1 处取得极大值 10,则 的值为( ).abA.- B.-223C.-2 或 - D.2 或 -23 23解析 由题意知 f(x)=3x2+2ax+b,则 f(1)=0,f(1)=10,即 3+2a+b=0,1+a+b-a2-7a=10,解得 或a=
2、-2,b=1 a= -6,b=9, 经检验 满足题意,故 =- ,故选 A.a= -6,b=9 ab 23答案 A3.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足 0,则必有( ).1-xf(x)A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)2 f(1)C.f(0)+f(2)1 时, f(x)0,此时函数 f(x)单调递增 .即当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值同时也取得最小值 f(1).所以 f(0)f(1),f(2)f(1),则 f(0)+f(2)2f(1).故选 A.答案 A4.若函数 y=- x3+ax 有三个单调区间,则 a 的取值范围是 . 13解析 y=-x2+a,
3、若 y=- x3+ax 有三个单调区间,则方程 -x2+a=0 应有两个不等实根,13= 4a0,故 a 的取值范围是(0, + ).答案 (0,+ )能力 1 会应用导数的几何意义【例 1】 (1)已知曲线 f(x)= 在点(1, f(1)处切线的斜率为 1,则实数 a 的值为( ).ax2x+1A. B.- C.- D.23 32 34 43(2)曲线 f(x)=x2+ln x 在点(1, f(1)处的切线方程为 . 解析 (1)对函数 f(x)= 求导,可得 f(x)= .ax2x+1 2ax(x+1)-ax2(x+1)2因为曲线 f(x)= 在点(1, f(1)处切线的斜率为 1,ax
4、2x+1所以 f(1)= =1,得 a= ,故选 D.3a4 43(2)因为 f(x)=2x+ ,1x所以曲线 f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为 f(1)=2+ =3.11因为 f(1)=1,3所以切线方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0.答案 (1)D (2)3x-y-2=01.求曲线 y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:(1)已知切点 P(x0,y0),求 y=f(x)过点P 的切线方程:先求出切线的斜率 f(x0),由点斜式写出方程 .(2)已知切线的斜率 k,求y=f(x)的切线方程:设切点 P(x0,y0),通过方程 k=f(x0)解得 x0,再由点斜式写
5、出方程 .(3)已知切线上一点(非切点),求 y=f(x)的切线方程:设切点 P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得 x0,再由点斜式或两点式写出方程 .2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:已知过某点的切线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解 .1.设曲线 y=ex在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x0)上点 P 处的切线垂直,则点 P 的坐标1x为 . 解析 函数 ye=x的导函数为 ye=x, 曲线 y=ex在点(0,1)处的切线的斜率 k1=e0=
6、1.设 P 的坐标为( x0,y0)(x00), 函数 y= 的导函数为 y=- ,1x 1x2 曲线 y= (x0)在点 P 处的切线的斜率 k2=- ,1x 1x20由题意知 k1k2=-1,即 1 =-1,解得 =1,(-1x20) x20又 x00,x 0=1. 点 P 在曲线 y= (x0)上, y 0=1,1x故点 P 的坐标为(1,1) .答案 (1,1)2.已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= .解析 (法一)令 f(x)=x+lnx,求导得 f(x)=1+ ,则 f(1)=2.1x4又 f(1)=1, 曲线 y=
7、x+lnx 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1.设直线 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切的切点为 P(x0,y0),则当 x=x0时, y=2ax0+a+2=2,得 a(2x0+1)=0,a= 0 或 x0=- .12又 a +(a+2)x0+1=2x0-1,即 a +ax0+2=0,当 a=0 时,显然不满足此方程,x20 x20x 0=- ,此时 a=8.12(法二)求出曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线方程为 y=2x-1.由 得 ax2+ax+2=0,y=2x-1,y=ax2+(a+2)x+1,=a 2-8a=0,a=
8、 8 或 a=0(显然不成立) .答案 8能力 2 会利用导数解决函数的单调性问题【例 2】 (1)函数 f(x)=x2ln x 的单调递减区间为( ).A.(0, ) B.e (ee,+ )C. D.(-,ee) (0,ee)(2)若函数 f(x)=lnx+ax2-2 在 内存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围是( ).(12,2)A.(- ,-2 B.(-18,+ )C. D.(-2,+ )(-2,-18)解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0, + ),由题意得 f(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令 f(x)g =-2,所以 a-2.故选 D.12x2 (12,2)
9、 (12)答案 (1)D (2)D利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f(x)0,f(x)0).ax-1ax2 函数 f(x)在1, + )上为增函数,f (x)= 0 对任意的 x1, + )恒成立,ax-1ax2ax- 10 对任意的 x1, + )恒成立,即 a 对任意的 x1, + )恒成立, a 1 .1x答案 1,+ )2.已知函数 f(x)= x2-2aln x+(a-2)x.12(1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调区间 .(2)是否存在实数 a,使函数 g(x)=f(x)-ax 在(0, + )上单调递增?若存在,求出 a 的取值范围
10、;若不存在,说明理由 .解析 (1)当 a=-1 时, f(x)= x2+2ln x-3x,12则 f(x)=x+ -3=2x x2-3x+2x= .(x-1)(x-2)x6当 02 时, f(x)0,f(x)单调递增;当 10 时,求函数 f(x)的单调递增区间;(2)当 a0,a 0,x0, 0,2ax+1xx- 10,得 x1,f (x)的单调递增区间为(1, + ).(2)由(1)可得 f(x)= .2a(x- 1-2a)(x-1)x已知 a1,即 - 0,因此 f(x)在 上是增函数,12a12 (12,1) 12,1f (x)的最小值为 f = - a+ln 2.(12)1234综
11、上,函数 f(x)在 上的最小值为12,1f(x)min=12-34a+ln2,a0,均有 x(2ln a-lnx) a 恒成立,求正数 a 的取值范围 .解析 (1)f(x)= - = ,x(0, + ).1xax2x-ax2 若 a0,则 f(x)0,f(x)在(0, + )上单调递增,无极值 . 若 a0,当 x(0, a)时, f(x)0,f(x)在( a,+ )上单调递增 .故 f(x)在(0, + )有极小值,无极大值, f(x)的极小值为 f(a)=lna+1.(2)若对任意 x0,均有 x(2ln a-lnx) a 恒成立,则对任意 x0,均有 2ln a +lnx 恒成立,a
12、x由(1)可知 f(x)的最小值为 lna+1,故问题转化为 2ln aln a+1,即 lna1,解得 00 恒成立,故 f(x)0 恒成立,即 f(x)在定义域上单调递增,无极值点 .故选 A.答案 A4.如图,可导函数 y=f(x)的图象在点 P(x0,f(x0)处的切线为 l:y=g(x),设 h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是( ).A.h(x0)=0,x=x0是 h(x)的极大值点B.h(x0)=0,x=x0是 h(x)的极小值点C.h(x0)=0,x=x0不是 h(x)的极值点D.h(x0)0解析 由题设有 g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0),故 h(x)
13、=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),所以 h(x)=f(x)-f(x0).因为 h(x0)=f(x0)-f(x0)=0,又当 xx0时,有 h(x)0,所以 x=x0是 h(x)的极小值点,故选 B.答案 B105.若函数 f(x)=2x3-3mx2+6x 在区间(2, + )上为增函数,则实数 m 的取值范围为( ).A.(- ,2) B.(- ,2C. D.(-,52) (-, 52解析 f (x)=6x2-6mx+6,当 x(2, + )时, f(x)0 恒成立,即 x2-mx+10 恒成立,m x+ 恒成立 .令 g(x)=x+ ,g(x)=1- , 当 x2 时, g(x
14、)0,即 g(x)在(2, + )上单调递1x 1x 1x2增, m 2 + = .1252答案 D6.设函数 f(x)=lnx+ax2- x,若 x=1 是函数 f(x)是极大值点,则函数 f(x)的极小值为( ).32A.ln 2-2 B.ln 2-1C.ln 3-2 D.ln 3-1解析 f (x)=lnx+ax2- x,32f (x)= +2ax- .1x 32x= 1 是函数 f(x)的极大值点,f (1)=1+2a- =0,a= ,32 14f (x)=lnx+ x2- x.14 32f (x)= + - = = (x0),1xx232x2-3x+22x (x-2)(x-1)2x
15、当 x(0,1)时, f(x)0;当 x(1,2)时, f(x)0. 当 x=2 时, f(x)取极小值,极小值为 ln 2-2.故选 A.答案 A7.已知 y=f(x)是奇函数,当 x(0,2)时, f(x)=lnx-ax ,当 x( -2,0)时, f(x)的最小(a12)值为 1,则 a 的值等于( ).A. B. C. D.114 13 12解析 由 f(x)是奇函数,当 x( -2,0)时, f(x)的最小值为 1 知,当 x(0,2)时, f(x)的最大值为 -1.11令 f(x)= -a=0,得 x= .1x 1a当 00;当 x 时, f(x)0,bR),若对任意 x0,f(x
16、) f(1),则( ).A.lna-2b D.lna -2b解析 f(x)=2ax+b- ,由题意可知 f(1)=0,即 2a+b=1,由选项可知,只需比较 lna+2b1x与 0 的大小,而 b=1-2a,所以只需判断 lna+2-4a 的符号 .构造一个新函数 g(x)=2-4x+ln x,则 g(x)= -4,令 g(x)=0,得 x= .所以当 0 时, g(x)为减函数,1x 14 14 14所以对任意 x0 有 g(x) g =1-ln 40,所以有 g(a)=2-4a+ln a=2b+ln a0ln a-2b.(14)答案 A二、填空题9.已知函数 f(x)=f cos x+si
17、nx,则 f 的值为 . ( 4) ( 4)解析 因为 f(x)=-f sin x+cosx,( 4)所以 f =-f sin +cos ,( 4) ( 4) 4 4所以 f = -1,( 4) 2故 f =f cos +sin =1.( 4) ( 4) 4 4答案 110.直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+bx2+c 相切于点 M(1,2),则 b 的值为 . 解析 由直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+bx2+c 相切于点 M(1,2),知点 M(1,2)满足直线y=kx+1 的方程,即 2=k+1,解得 k=1,即 y=x+1.由 y=x3+bx2+c,知 y=3x2+2bx,则
18、y|x=1=3+2b=1,解得 b=-1.答案 -111.若函数 f(x)=x3+ax-2 在(1, + )上是增函数,则实数 a 的取值范围是 . 解析 由题意知 f(x)=3x2+a,12已知 f(x)在(1, + )上是增函数,则 f(x)=3x2+a0 对任意 x(1, + )恒成立,即 a -3x2对任意 x(1, + )恒成立, a -3.答案 -3,+ )12.若函数 f(x)=- x2+4x-3ln x 在 t,t+1上不单调,则 t 的取值范围是 . 12解析 f(x)=-x+4- = =- ,3x -x2+4x-3x (x-1)(x-3)x由 f(x)=0 及判断可知函数
19、f(x)的两个极值点为 1,3,则只要这两个极值点有一个在( t,t+1)内,函数 f(x)在 t,t+1上就不单调,所以t1t+1 或 t3t+1,解得 0t1 或 2t3.答案 (0,1)(2,3)三、解答题13.已知函数 f(x)=a(x+1)lnx-x+1(aR) .(1)当 a=2 时,求曲线 f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)当 a 时,求证:对任意 x1, + ),f(x)0 恒成立 .12解析 (1)由 f(x)=2(x+1)lnx-x+1 得 f(x)=2ln x+ +1,2x又切点为(1,0),斜率为 f(1)=3,故所求切线方程为 y=3(x-1),即 3x-y-3=0.(2)当 a 时, f(x)=a(x+1)lnx-x+1(x1),12欲证 f(x)0,注意到 f(1)=0,只要 f(x) f(1)即可,f(x)=a -1(x1),(lnx+1x+1)令 g(x)=lnx+ +1(x1),1x则 g(x)= - = 0( x1),1x1x2x-1x2所以 g(x)在1, + )上单调递增,所以 g(x) g(1)=2,所以 f(x)2 a-10 ,(a12)所以 f(x)在1, + )上单调递增,于是有 f(x) f(1)=0.13综上,当 a 时,对任意 x1, + ),f(x)0 恒成立 .12
