1、1大题精做 9 圆锥曲线：存在性问题2019株洲一模已知 1F， 2分别为椭圆 2:10xyCab的左、右焦点，点 01,Py在椭圆上，且 2PFx轴， 2P 的周长为 6（1）求椭圆的标准方程；（2 ）过点 0,1T的直线 与椭圆 C交于 A， B两点，设 O为坐标原点，是否存在常数 ，使得7OAB恒成立？请说明理由【答案】 （1）2143xy；（2）当 2时， 7TAB【解析】 （1）由题意， 1,0F， 21,， c， 12PF 的周长为 6， 6Pa， a， 3b，椭圆的标准方程为2143xy（2）假设存在常数 满足条件当过点 T的直线 AB的斜率不存在时， 0,A， ,3B， 313
2、27O ，当 2时， 7T；当过点 T的直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 1ykx，设 1,Axy， 2,Bxy，联立21 43xyk，化简得 23480kx， 1228x， 122xk 121OABTyxy21121kx2 28818 7434343kkk， 1，解得 2，即 时， OABT；综上所述，当 时， 7OABT212019宜昌调研已知椭圆 2:10yxCab的离 心率为 12，短轴长为 23（1）求椭圆 C的方程；（2）设过点 0,4A的直线 l与椭圆 交于 M、 N两点， F是椭圆 C的上焦点问：是否存在直线 l，使得 MAFS ？ 若存在，求出直线 l的方程 ；若
3、不存在，请说明理由2201 9江西联考已知点 F为抛物线 2:0Cypx的焦点，抛物线 C上的点 A满足 FO( 为坐标原点)，且 32A（1）求抛物线 C的方程；（2）若直线 :lxmyt与抛物线 C交于不同的两点 M， N，是否存在实数 t及定点 P，对任意实数 m，都有 PMN？若存在，求出 t的值及点 P的坐标；若不存在，请说明理由332019广州一模已知动圆 C过定点 1,0F，且与定直线 1x相切（1）求动圆 圆心 的轨迹 E的方程；（2）过点 2,0M的任一条直线 l与轨迹 E交于不同的两点 P， Q，试探 究在 x轴上是否存在定点 N（异于点 ） ，使得 QNP？若存在，求点
4、N的坐标；若不存在，说明理由41 【答案】 （1）2143yx；（2）存在直线 :6540lxy或 6540xy【解析】 （1） ca， b，且有 22abc，解得 2a， 23b，椭圆 C的方程为2143yx（2）由题可知 l的斜率一定存在，设 l为 4ykx，设 1,Mxy， 2,Nxy，联立 22 3436014ykxkx，221220 346kxk ， MAFNS ， 为线段 AN的中点， 21x，将代入解得 12834kx将代入得 2将代入解得 65k将式代入式检验成立， 65k，即存在直线 :6450lxy或 6540xy合题意2 【答案】 （1） 24y；（2）存在 t及点 ,P
5、，对任意实数 m，都有 PMN【解析】 （1）由 AFO得点 A横坐标为 4p，由抛物线定义及 32得， 342p，所以 2，所以抛物线 C的方程为 yx（2）假设存在实数 t及定点 P，对任意实数 m，都有 PMN，设 0,Pxy，21,4My，2,4Ny，联立2 xmyt，得 20mt，5则 124ym， 124yt， 221121+4yyymt，由 PMN，得 2210010204Pxyy 221 2 2100101064yyxy 22200044mtxt，所以 x， y， t，当 0t时不满足题意，所以 4t，即存在 4t及点 0,P，对任意实数 m，都有 PMN3 【答案】 （1）
6、2yx， （2）见解析【解析】 （1）解法 1：依题意动圆圆心 C到定点 1,0F的距离与到定直线 1x的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心 的轨迹是以 ,为焦点 ， 为准线的抛物线，其中 2p动圆圆心 C的轨迹 E的方程为 24yx解法 2：设动圆圆心 ,x，依题意： 211yx化简得 4y，即为动圆圆心 C的轨迹 E的方程（2）假设存在点 0,Nx满足题设条件由 QMP可知，直线 PN与 Q的斜率互为相反数，即 0PNQk直线 的斜率必存在且不为 0，设 :2xmy，由24 yxm，得 248ym由 480，得 2m或 设 1,P， 2,Q，则 12y， 12y由式得 010102012PN xxkx ，1202yxy，即 120yy消去 ， ，得 2104x， 1220124yxy，120y， 02xy， 存在点 ,0N使得 QMPN6
