1、1小专题(四) 二次函数的应用本专题包括求图形面积的最值问题、求抛物线形运动问题、求抛物线形建筑物问题、求销售中最大利润问题,是中考常考的题型,特别是利润问题,是近年考查的热点题型 .类型 1 求面积(体积)的最值问题1.如图,有一块边长为 6 cm 的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是 cm2. 9322.有一块直角三角形铁皮余料, BC=1 m, A=30.李老师想在这块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做演示用 .请你帮李老师计算所取得最大矩形料的面积为 m2 ,这时 CE= m 34 32,CF=
2、 m . 123.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体 .其中,抽屉底面周长为180 cm,高为 20 cm.请通过计算说明,当底面的宽 x 为何值时,抽屉的体积 y 最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)解:已知抽屉底面宽为 x cm,则底面长为(90 -x) cm.由题意得 y=x(90-x)20=-20(x2-90x)=-20(x-45)2+40500,当 x=45 时, y 有最大值,最大值为 40500.答:当抽屉底面宽为 45 cm 时,抽屉的体积最大,最大体积为 40500 cm3.24.工人师傅用一块长为 10 dm,宽为 6 dm 的矩形铁皮制作一个
3、无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形 .(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为 12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为 0.5 元,底面每平方分米的费用为 2 元,裁掉的正方形边长为多少时,总费用最低,最低为多少?解:(1)如图所示 .设裁掉的正方形的边长为 x dm,由题意可得(10 -2x)(6-2x)=12,即 x2-8x+12=0,解得 x=2 或 x=6(舍去) .答:裁掉的正方形的边长为 2 dm 时,长方体底面面积为 12
4、dm2.(2)由题意得 10-2x5(6 -2x),解得 01.55, 此球能过网 .(2)把(0,1), 代入 y=a(x-4)2+h,(7,125)得 16a+h=1,9a+h= ,125解得 a=- .156.李刚在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线 y=- x2+ x,其中 y(m)15 85是球的飞行高度, x(m)是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有 2 m.(1)请写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴;(2)请求出球飞行的最大水平距离;4(3)若李刚再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其表达
5、式 .解:(1) y=- x2+ x=- (x-4)2+ ,15 85 15 165 抛物线 y=- x2+ x 开口向下,顶点为 ,对称轴为直线 x=4.15 85 (4,165)(2)令 y=0,得 - x2+ x=0,解得 x1=0,x2=8.15 85 球飞行的最大水平距离是 8 m.(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为 10 m, 抛物线的对称轴为直线 x=5,顶点为 .设此时对应的抛物线的表达式为 y=a(x-5)2+ ,(5,165) 165又 点(0,0)在此抛物线上, 25a+ =0,解得 a=- ,165 16125 此时球飞行路线应满足的抛物线
6、的表达式为 y=- (x-5)2+ ,即 y=- x2+ x.16125 165 161253225类型 3 求抛物线形建筑物问题7.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为 8 米,两侧距地面 4 米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为 6 米 .求校门的高 .(结果精确到 0.1 米,水泥建筑物厚度忽略不计)解:以大门地面为 x 轴,它的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,则抛物线过( -4,0),(4,0),(-3,4)三点 . 抛物线关于 y 轴对称,可设表达式为 y=ax2+c,则 解得 a=- ,c= ,16a+c=0,9a+c=4, 47 647 表达式
7、为 y=- x2+ .47 647 顶点坐标为 . 校门的高为 9 .1(米) .(0,647) 64758.图中是抛物线拱桥, P 处有一照明灯,水面 OA 宽 4 m,从 O,A 两处观测 P 处,仰角分别为 , ,且 tan = ,tan = ,以 O 为原点, OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 .12 32(1)求点 P 的坐标;(2)水面上升 1 m,水面宽多少?( 取 1.41,结果精确到 0.1 m)2解:(1)过点 P 作 PH OA 于点 H,如图 .设 PH=3x,在 Rt OHP 中, tan = ,OH= 6x.PHOH=12在 Rt AHP 中, tan = ,
8、AH= 2x,PHAH=32OA=OH+AH= 8x=4,x= ,12OH= 3,PH= ,点 P 的坐标为 .32 (3,32)(2)若水面上升 1 m 后到达 BC 位置,如图,过点 O(0,0),A(4,0)的抛物线的表达式可设为 y=ax(x-4),P 在抛物线 y=ax(x-4)上,(3,32) 3a(3-4)= ,解得 a=- ,32 12 抛物线的表达式为 y=- x(x-4).126当 y=1 时, - x(x-4)=1,12解得 x1=2+ ,x2=2- ,2 2BC= (2+ )-(2- )=2 2 .8.2 2 2答:水面上升 1 m,水面宽约为 2.8 m.9.如图,需
9、在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案 .按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用 y=ax2+bx(a0)表示 .已知抛物线上 B,C 两点到地面的距离均为 m,到墙边 OA 的34距离分别为 m, m.12 32(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为 10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案?解:(1)根据题意,得 B ,C ,(12,34) (32,34)把 B,C 的坐标代入 y=ax2+bx,得 34=14a+12b,34=94a+32b,解得 a= -1,b=2, 拋物线的函数关系式为 y=-x2+2x. 图案最高点到地面的距离为
10、=1 m.-224(-1)(2)令 y=0,得 -x2+2x=0,解得 x1=0,x2=2, 102=5, 最多可以连续绘制 5 个这样的拋物线形图案 .类型 4 求销售中的最大利润问题710.(黄石中考)小明同学在一次社会实践活动中,通过对某种蔬菜在 1 月份至 7 月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律: 该蔬菜的销售价 P(单位:元 /千克)与时间 x(单位:月份)满足关系: P=9-x. 该蔬菜的平均成本 y(单位:元 /千克)与时间 x(单位:月份)满足二次函数关系y=ax2+bx+10,已知 4 月份的平均成本为 2 元 /千克,6 月份的平均成本为 1 元 /千克 .(1)求该
11、二次函数的表达式;(2)请运用小明统计的结论,求出该蔬菜在第几月份的平均利润 L(单位:元 /千克)最大?最大平均利润是多少?(注:平均利润 =销售价 -平均成本)解:(1)将 x=4,y=2 和 x=6,y=1 代入 y=ax2+bx+10,得 解得16a+4b+10=2,36a+6b+10=1, a=14,b= -3,y= x2-3x+10.14(2)根据题意,知 L=P-y=9-x- x2-3x+10 =- (x-4)2+3,14 14 当 x=4 时, L 取得最大值,最大值为 3.答:4 月份的平均利润 L 最大,最大平均利润是 3 元 /千克 .11.某企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在 14 天内完成 .已知每件产品的出厂价为60 元 .工人甲第 x 天生产的产品数量为 y 件, y 与 x 满足如下关系: y= 7.5x ( 0 x 4),5x+10 ( 44,不符合题意,2838 5x+10=70,解得 x=12.答:工人甲第 12 天生产的产品数量为 70 件 .(2)由函数图象知,当 0 x4 时, P=40;当 4600, 当 x=11 时, W 取得最大值,最大值为 845 元 .答:第 11 天时,利润最大,最大利润是 845 元 .
