1、1小专题(三) 二次函数的图象与性质本专题包括二次函数的图象及性质的简单应用、二次函数图象上点的坐标特点、二次函数图象的平移变换等内容,属于中考热点问题,熟练掌握二次函数的图象及性质、对称轴、顶点坐标、二次函数的最值等知识点是解题的关键 .类型 1 二次函数的图象及应用1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论: a 0; 该函数的图象关于直线 x=1 对称; 当 x=-1 或 x=3 时,函数 y 的值都等于 0.其中正确结论的个数是 (B)A.3 B.2 C.1 D.02.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图象可能是 (C
2、)3.如图,二次函数的图象经过( -2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是(D)A.y 的最大值小于 0B.当 x=0 时, y 的值大于 1C.当 x=-1 时, y 的值大于 1D.当 x=-3 时, y 的值小于 0类型 2 二次函数性质的应用24.(泸州中考)已知抛物线 y= x2+1 具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点 F(0,2)的距离14与到 x 轴的距离始终相等 .如图,点 M 的坐标为( ,3),P 是抛物线 y= x2+1 上一个动点,则314 PMF 周长的最小值是 (C)A.3 B.4 C.5 D.6提示:过点 M 作 ME x 轴于点 E,
3、交抛物线 y= x2+1 于点 P,此时 PMF 周长最小 .145.如图,已知抛物线 y=-x2+mx+3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 B 的坐标为(3,0) .(1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标;(2)P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点,当 PA+PC 的值最小时,求点 P 的坐标 .解:(1)把点(3,0)代入 y=-x2+mx+3,得 0=-32+3m+3,解得 m=2,y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4, 顶点坐标为(1,4) .(2)连接 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P,则此时 PA+PC 的值最小,设直线 BC 的表达式为 y=kx+b
4、, 直线 BC 经过点 C(0,3),点 B(3,0), 3k+b=0,b=3,解得 k=-1,b=3, 直线 BC 的表达式为 y=-x+3,当 x=1 时, y=-1+3=2, 当 PA+PC 的值最小时,点 P 的坐标为(1,2) .36.如图,已知二次函数 y=x2-2x-1 的图象的顶点为 A.二次函数 y=ax2+bx 的图象与 x 轴交于原点 O 及另一点 C,它的顶点 B 在函数 y=x2-2x-1 的图象的对称轴上 .(1)求点 A 与点 C 的坐标;(2)当四边形 AOBC 为菱形时,求函数 y=ax2+bx 的关系式 .解:(1) y=x2-2x-1=(x-1)2-2,
5、点 A 的坐标为(1, -2). 抛物线 y=ax2+bx 的顶点 B 在函数 y=x2-2x-1 的图象的对称轴上 .B 点的横坐标为 1,则对称轴 - =1,b2ab=- 2a.对于 y=ax2+bx,令 y=0,得 ax2+bx=0,解得 x1=0,x2=- ,则 x2=- =2,即点 C 的坐标为(2,0) .ba ba=2aa(2)当四边形 AOBC 为菱形时,由菱形的对角线互相垂直平分,得 B 点坐标为(1,2),则 解得b= -2a,a+b=2, a= -2,b=4. 函数 y=ax2+bx 的关系式为 y=-2x2+4x.类型 3 二次函数图象上点的坐标特点7.如果抛物线 y=
6、ax2+bx+c 过定点 M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线 .(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个表达式 .小敏写出了一个答案: y=2x2+3x-4,请你写出一个不同于小敏的答案;(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线 y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的表达式,请你解答 .解:(1) y=x2-2x+2.(答案不唯一)4(2) 定点抛物线的顶点坐标为( b,c+b2+1),且 -1+2b+c+1=1,c= 1-2b, 顶点纵坐标 c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1, 当 b=1 时, c+b2+1
7、 最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时 c=-1, 抛物线的表达式为 y=-x2+2x.类型 4 二次函数图象的平移变换8.(淄博中考)将二次函数 y=x2+2x-1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度,得到的函数表达式是 (D)A.y=(x+3)2-2 B.y=(x+3)2+2C.y=(x-1)2+2 D.y=(x-1)2-29.已知抛物线 C1:y= (x+2)2-5 的顶点为 P,与 x 轴正半轴交于点 B,抛物线 C2与抛物线 C1关59于 x 轴对称,将抛物线 C2向右平移,平移后的抛物线记为 C3,C3的顶点为 M,当点 P,M 关于点B 成中心对称时,求 C3的表达式 .
8、解:点 P 的坐标为( -2,-5),令 y=0,得 (x+2)2-5=0,解得 x1=1,x2=-5,59 点 B 的坐标为(1,0), 点 P,M 关于点 B 对称, 点 M 的坐标为(4,5), 抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称,抛物线 C2向右平移得到 C3, 抛物线 C3的表达式为 y=- (x-4)2+5.59510.如图所示的抛物线是由抛物线 y=-x2经过平移而得到 .这时抛物线过原点 O 和 x 轴正半轴上一点 A,顶点为 P, OPA=90.(1)求抛物线的顶点 P 的坐标及抛物线的表达式;(2)求如图所示的抛物线对应的二次函数在 - x 时的最大值和最小值 .1
9、2 12解:(1)由题意可设 y=-(x-a)2+b(a0), 抛物线过点(0,0),代入得 0=-a2+b,b=a 2,y=-(x-a)2+a2.过点 P 作 PM x 轴于点 M,则 OM=a,PM=a2.P 是抛物线的顶点, OPA=90,PO=PA ,OM=AM=PM ,a 2=a,解得 a=1 或 a=0(舍去), 点 P 的坐标为(1,1), 抛物线的表达式为 y=-(x-1)2+1=-x2+2x.(2) 抛物线的表达式为 y=-(x-1)2+1, 抛物线的对称轴是直线 x=1,又 抛物线开口向下, 当 - x 时, y 随 x 的增大而增大 .12 12 当 x= 时, y 最大 =- +2 ;12 14 12=346当 x=- 时, y 最小 =- -2 =- .12 14 12 54
