1、12.3 确定二次函数的表达式知识要点基础练知识点 1 用一般式(三点式)确定二次函数表达式1.图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点的二次函数的表达式是 (D)A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3x+22.已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1,且经过点(2,5)和( -2,13),求这个二次函数的表达式 .解:设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c,把(0,1)代入,得 c=1,即 y=ax2+bx+1,将(2,5),( -2,13)分别代入,得 解4a+2b+1=5,4a-2b+1=13,得 a=2,b= -2,所以二
2、次函数的表达式为 y=2x2-2x+1.3.抛物线 y=ax2+bx-3 经过点 A(2,-3),与 x 轴负半轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,且 OC=3OB,求抛物线的表达式 .解:由 y=ax2+bx-3 得 C(0,-3),OC= 3,OC= 3OB,OB= 1,B (-1,0),把 A(2,-3),B(-1,0)代入 y=ax2+bx-3,得 解得4a+2b-3= -3,a-b-3=0, a=1,b= -2. 抛物线的表达式为 y=x2-2x-3.知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式4.已知抛物线的顶点坐标是(2,1),且抛物线的图象经过点(3,0),则这条抛物线的表达式是(D
3、)A.y=-x2-4x-3 B.y=-x2-4x+3C.y=x2-4x-3 D.y=-x2+4x-35.请写出一个开口向上,对称轴为直线 x=2,且与 y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的表达式 y=x2-4x+3(答案不唯一) . 2【变式拓展】二次函数图象过 A,B,C 三点,点 A 的坐标为( -1,0),点 B 的坐标为(4,0),点 C在 y 轴正半轴上,且 AB=OC,则该二次函数的表达式为 y=- x2+ x+5 . 54 1546.(赤峰中考)如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 D,点 B 的坐标为(3,0),顶点 C
4、 的坐标为(1,4) .(1)求二次函数的表达式和直线 BD 的表达式;(2)P 是直线 BD 上的一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 M,当点 P 在第一象限时,求线段 PM 长度的最大值 .解:(1) 抛物线的顶点 C 的坐标为(1,4), 可设抛物线的表达式为 y=a(x-1)2+4, 点 B(3,0)在该抛物线的图象上, 0=a(3-1)2+4,解得 a=-1, 抛物线的表达式为 y=-(x-1)2+4,即 y=-x2+2x+3.由 y=-x2+2x+3 知, D 点的坐标为(0,3) .根据 B(3,0),D(0,3)可求得直线 BD 的表达式为 y=-x+3.(2)
5、设 P 点横坐标为 m(m0),则 P(m,-m+3),M(m,-m2+2m+3),PM=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=- ,(m-32)2+94 当 m= 时, PM 有最大值 .32 94知识点 3 用交点式确定二次函数表达式7.抛物线与 x 轴交点的横坐标为 -2 和 1,且过点(2,8),则它对应的二次函数表达式为 (D)A.y=2x2-2x-4 B.y=-2x2+2x-4C.y=x2+x-2 D.y=2x2+2x-438.抛物线与 x 轴的两个交点坐标为( -3,0)和(2,0),且它经过点(1,4),求出对应的二次函数的表达式 .解:设 y=a(x+3)(x-2)
6、,则 -4a=4,解得 a=-1,则 y=-(x+3)(x-2),即 y=-x2-x+6.综合能力提升练9.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为 (B)A.y=x2-2x+3B.y=x2-2x-3C.y=x2+2x-3D.y=x2+2x+310.如图为抛物线 y=ax2+bx+c 的图象, A,B,C 为抛物线与坐标轴的交点,且 OA=OC=1,则下列关系中正确的是 (B)A.a+b=-1B.a-b=-1C.b0,开口向上,对称轴是直线 x=-3,12 52 12 当 x-3 时,函数值 y 随 x 的增大而增大 .16.(毕节中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐
7、标轴于 A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点, P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 .(1)求这个二次函数的表达式 .5(2)是否存在点 P,使 POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由 .解:(1)设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c,把 A,B,C 三点坐标代入,得 解得a-b+c=0,16a+4b+c=0,c= -4, a=1,b= -3,c= -4. 抛物线的表达式为 y=x2-3x-4.(2)作 OC 的垂直平分线 DP,交 OC 于点 D,交 BC 下方抛物线于点 P,PO=PC ,此时 P 点即为满足条件的点,C (
8、0,-4),D (0,-2),P 点纵坐标为 -2,代入抛物线表达式,得 x2-3x-4=-2,解得 x= (小于 0,舍去)或 x= ,3- 172 3+ 172 存在满足条件的 P 点,其坐标为 .(3+ 172 ,-2)拓展探究突破练17.已知抛物线 y=- x2+mx 过点(8,0) .12(1)求 m 的值;(2)如图,在抛物线内作矩形 ABCD,使点 C,D 落在抛物线上,点 A,B 落在 x 轴上,设矩形 ABCD的周长为 L,求 L 的最大值 .解:(1)由条件可得 - 82+8m=0,解得 m=4.12(2)m= 4, 抛物线的表达式为 y=- x2+4x.126由于抛物线和矩形都是轴对称图形,所以点 A 与 B,点 C 与 D 都关于抛物线的对称轴 x=4 对称,设 A(n,0),则 D ,B(8-n,0),则 AB=8-2n.(n,-12n2+4n)L= 2 +2(8-2n)(-12n2+4n)=-n2+4n+16=-(n-2)2+20,L 的最大值为 20.
