1、12.2 二次函数的图象与性质第 1 课时 二次函数的图象与性质(1)知识要点基础练知识点 1 二次函数 y=ax2(a0)的图象与性质1.关于 y= x2,y=x2,y=3x2的图象,下列说法中不正确的是 (C)13A.顶点相同 B.对称轴相同C.图象形状相同 D.最低点相同2.已知点( -1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数 y=x2的图象上,则 (A)A.y10 时,抛物线有最低点,函数有最小值,m- 3, 当 m=1 时,该函数有最小值 .2(3)当 m=1,x0 时, y 随 x 的增大而增大, x0 时, y 随 x 的增大而减小, xy2D.若 x1y27.已知二次函
2、数 y=ax2的图象是由 y=-5x2+1 向下平移得到的,那么将 y=ax2向下平移 3 个单位,所得新函数的表达式为 (B)A.y=-5x2+3 B.y=-5x2-3C.y=5x2-3 D.y=5x2+3综合能力提升练8.对于抛物线 y=-x2+2 和 y=x2的论断: 开口方向不同; 形状完全相同; 对称轴相同 .其中正确的有 (D)A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个39.若二次函数 y=ax2+c,当 x 取 x1,x2(x1 x2)时,函数值相等,则当 x 取 x1+x2时,函数值为(D)A.a+c B.a-cC.-c D.c10.二次函数 y=-2x2+1 的图象上有两
3、点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),若 0y2 B.y1y20 D.y10 时, y 随 x 的增大而增大 .(3)当 m=-3 时,该二次函数的图象有最高点,函数有最大值,此时 y=-x2+1,最高点为(0,1),故此函数的最大值为 1,当 x0 时, y 随 x 的增大而减小 .15.已知二次函数 y=ax2+n 的图象与抛物线 y=-2x2的开口大小和开口方向相同,且 y=ax2+n的图象上的点到 x 轴的最小距离为 3.(1)求 a,n 的值;(2)指出抛物线 y=ax2+n 的开口方向、对称轴和顶点坐标 .解:(1) 抛物线 y=ax2+n 与抛物线 y=-2x2的开口大小和
4、开口方向相同, a=- 2. 抛物线 y=ax2+n 的图象上的点与 x 轴的最小距离为 3,n=- 3.(2)由(1)知抛物线的表达式为 y=-2x2-3,抛物线开口向下,对称轴是 y 轴,顶点坐标是(0, -3).16.已知 A1,A2,A3是抛物线 y= x2上的三点, A1B1,A2B2,A3B3分别垂直于 x 轴,垂足为 B1,B2,B3,12直线 A2B2交线段 A1A3于点 C.如图,若 A1,A2,A3三点的横坐标依次为 1,2,3,求线段 CA2的长 .5解: A 1,A2,A3三点的横坐标依次为 1,2,3,A 1B1= 12= ,A2B2= 22=2,A3B3= 32=
5、.12 12 12 12 92设直线 A1A3的表达式为 y=kx+b.把 代入 y=kx+b,得(1,12)和 (3,92) 12=k+b,92=3k+b,解得 k=2,b= -32. 直线 A1A3的表达式为 y=2x- .32CB 2=22- .32=52CA 2=CB2-A2B2= -2= .52 12拓展探究突破练17.如图,二次函数 y=ax2+c 图象的顶点为 B,若以 OB 为对角线的正方形 ABCO 的另两个顶点A,C 也在该抛物线上,求 ac 的值 .解: 抛物线 y=ax2+c 的顶点 B 的坐标为(0, c),四边形 ABCO 是正方形, COB=45,CO=BC, C
6、OB 是等腰直角三角形,C 点横纵坐标绝对值相等,且等于 BO 长度的一半,C 点坐标为 ,(-c2,c2)6将点 C 代入抛物线 y=ax2+c,得 ac=-2.(-c2,c2)第 2 课时 二次函数的图象与性质(2)知识要点基础练知识点 1 二次函数 y=a(x-h)2(a0)的图象与性质1.抛物线 y=-2(x-3)2的顶点坐标和对称轴分别是 (B)A.(-3,0),直线 x=-3B.(3,0),直线 x=3C.(0,-3),直线 x=-3D.(0,3),直线 x=-32.已知二次函数 y=3(x+1)2的图象上有三点 A(1,y1),B(2,y2),C(-2,y3),则 y1,y2,y
7、3的大小关系为 (B)A.y1y2y3 B.y2y1y3C.y3y1y2 D.y3y2y1【变式拓展】对于二次函数 y=- x2+2,当 x 为 x1和 x2时,对应的函数值分别为 y1和 y2.若13x1x20,则 y1和 y2的大小关系是 (B)A.y1y2 B.y10 时, y 随 x 的增大而减小B.当 x2 时, y 随 x 的增大而增大D.当 x-2 时, y 随 x 的增大而减小10.(玉林中考)对于函数 y=-2(x-m)2的图象,下列说法不正确的是 (D)A.开口向下 B.对称轴是直线 x=mC.最大值为 0 D.与 y 轴不相交11.已知二次函数 y=3x2+1 和 y=3
8、(x-1)2,则下列说法: 它们的图象都是开口向上; 它们的对称轴都是 y 轴,顶点坐标都是原点(0,0); 当 x0 时,它们的函数值 y 都是随着 x 的增大而增大; 它们的开口的大小是一样的 .其中正确的有 (B)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个12.(衡阳中考)已知函数 y=-(x-1)2图象上两点 A(2,y1),B(a,y2),其中 a2,则 y1与 y2的大小关系是 y1 y2.(填“ ”或“ =”) 13.二次函数 y= (x+h)2的图象如图所示,已知 OA=OC,试求该抛物线的表达式 .12解: y= (x+h)2,12 当 x=0 时, y= h2,则 C
9、,12 (0,12h2)又 A(-h,0),OA=OC,-h= h2,解得 h=0(舍去)或 h=-2,12 该抛物线的表达式为 y= (x-2)2.1214.已知抛物线 y=a(x+m)2的对称轴是直线 x=2,抛物线与 y 轴的交点是(0,8),求 a,m 的值 .10解: 抛物线 y=a(x+m)2,且抛物线的对称轴是直线 x=2,m=- 2, 抛物线的表达式为 y=a(x-2)2, 抛物线与 y 轴的交点是(0,8), 8=a(0-2)2,解得 a=2.15.已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线 y=-8x2都相同,并且它的顶点在抛物线y=2 的顶点上 .(x+32)2(1)求这
10、条抛物线的表达式;(2)求将(1)中的抛物线向左平移 5 个单位后得到的抛物线的表达式;(3)若(2)中所示抛物线的顶点不动,将抛物线的开口反向,求反向后的抛物线的表达式 .解:(1) y=-8 .(x+32)2(2)y=-8 .(x+132)2(3)y=8 .(x+132)2拓展探究突破练16.如图,抛物线 y=a(x+1)2的顶点为 A,与 y 轴的负半轴交于点 B,且 OB=OA.(1)求抛物线的表达式;(2)若点 C(-3,b)在该抛物线上,求 S ABC的值 .解:(1)由条件,得 A(-1,0),B(0,-1),将 x=0,y=-1 代入抛物线的表达式,得 a=-1,则抛物线的表达
11、式为 y=-(x+1)2=-x2-2x-1.11(2)过点 C 作 CD x 轴于点 D,将 C(-3,b)代入抛物线的表达式,得 b=-4,即 C(-3,-4),则 S ABC=S 梯形 OBCD-S ACD-S AOB= 3(4+1)- 42- 11=3.12 12 12第 3 课时 二次函数的图象与性质(3)知识要点基础练知识点 1 二次函数 y=a(x-h)2+k(a0)的图象与性质1.对于二次函数 y=-(x-1)2+2 的图象与性质,下列说法正确的是 (B)A.对称轴是直线 x=1,最小值是 2B.对称轴是直线 x=1,最大值是 2C.对称轴是直线 x=-1,最小值是 2D.对称轴
12、是直线 x=-1,最大值是 22.关于二次函数 y=-4(x+5)2+3 的说法: 顶点的坐标为(5,3); 对称轴为直线 x=-5; 当xyF时,过点 P 作 PB y 轴于点 B,如图所示 .PF=PM= a2+1.14在 Rt PBF 中, BF= a2-1(a2 或 a3 时, y 随 x 的增大而减小5.如果抛物线 C:y=ax2+bx+c(a0)与直线 l:y=kx+d(k0)都经过 y 轴上一点 P,且抛物线C 的顶点 Q 在直线 l 上,那么称此直线 l 与该抛物线 C 具有“点线和谐”关系 .如果直线y=mx+1 与抛物线 y=x2-2x+n 具有“点线和谐”关系,那么 m+
13、n= 0 . 6.已知二次函数 y=ax2+4x+c 的图象经过点 A(3,-4),B(0,2).(1)求 a,c 的值;(2)求二次函数图象的顶点坐标;(3)直接写出函数 y 随 x 增大而增大的自变量 x 的取值范围 .解:(1) 二次函数 y=ax2+4x+c 的图象经过点 A(3,-4),B(0,2), 解得9a+12+c= -4,c=2, a= -2c=2.(2)由(1)知 y=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4, 顶点坐标为(1,4) .(3) 抛物线开口向下,对称轴为直线 x=1, 当 x1,则( m-1)a+b0B.若 m1,则( m-1)a+b0D.若 m0B.当 x1
14、 时, y 随 x 的增大而增大C.c012.(扬州中考)如图,已知 ABC 的顶点坐标分别为 A(0,2),B(1,0),C(2,1),若二次函数y=x2+bx+1 的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数 b 的取值范围是 (C)A.b -2 B.b-2提示:抛物线 y=x2+bx+1 与 y 轴的交点为(0,1), C (2,1), 对称轴 x=- 1 时,二次函数b2y=x2+bx+1 的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点, b -2.13.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)过 O(0,0),A(2,0),B(-3,y1),C(4,y2)四点,则 y1 y2.(填“ ”“
15、”或“ =”) 14.如图,二次函数 y=-x2+bx+c 的图象经过坐标原点,与 x 轴交于点 A(-2,0).(1)求此二次函数的顶点 B 的坐标;(2)在抛物线上有一点 P,满足 S AOP=1,请直接写出点 P 的坐标 .解:(1)将 A(-2,0),O(0,0)代入表达式 y=-x2+bx+c,得 c=0,-4-2b+c=0,解得 c=0,b=-2,所以二次函数的表达式为 y=-x2-2x=-(x+1)2+1,所以顶点 B 的坐标为( -1,1).(2)点 P 的坐标为( -1,1)或( -1+ ,-1)或( -1- ,-1).2 215.已知抛物线 y=ax2+bx 经过点 A(-
16、3,-3)和点 P(m,0),且 m0 .(1)如图,若该抛物线的对称轴经过点 A,求此时 y 的最小值和 m 的值;(2)若 m=-2,设此时抛物线的顶点为 B,求四边形 OAPB 的面积 .解:(1)根据题意, A 是抛物线的顶点, 此时 y 的最小值为 -3,对称轴是直线 x=-3,m=- 6.(2)将点( -2,0),(-3,-3)代入 y=ax2+bx 中,21得 4a-2b=0,9a-3b=-3,解得 a=-1,b=-2. 抛物线的表达式为 y=-x2-2x=-(x+1)2+1, 抛物线顶点 B 的坐标为( -1,1).S 四边形 OAPB=S OPB+S OPA= 21+ 23=
17、4.12 12 四边形 OAPB 的面积是 4.拓展探究突破练16.(云南中考)已知二次函数 y=-2x2+bx+c 图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象的对称轴与 x 轴的交点为 A,M 是这个二次函数图象上的点, O 是原点 .(1)不等式 b+2c+80 是否成立?请说明理由 .(2)设 S 是 AMO 的面积,求满足 S=9 的所有点 M 的坐标 .解:(1) 抛物线的顶点坐标为(3,8), 抛物线的表达式为 y=-2(x-3)2+8=-2x2+12x-10,b= 12,c=-10,b+ 2c+8=12-20+8=0, 不等式 b+2c+80 成立 .(2)设 M(m,n),由题意得 3|n|=9,n= 6,12 当 n=6 时,6 =-2m2+12m-10,解得 m=2 或 4, 当 n=-6 时, -6=-2m2+12m-10,解得 m=3 ,7 满足条件的点 M 的坐标为(2,6)或(4,6)或(3 + ,-6)或(3 - ,-6).7 7
