1、1第二十七章 相似章末小结与提升相似类型 1 相似多边形1.如图,把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形,如果每个小矩形都与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 (B)A. 1 B.2 1 C.3 1 D.4 122.如图,有一块矩形草坪,沿草坪四周有宽为 3 m 的环形小路 .(1)问小路内外边缘所成的两个矩形相似吗?(2)若矩形草坪的长、宽分别为 a m,b m.则当 a,b 满足什么关系式时,能使小路内外边缘所成的两个矩形一定相似?2(3)若 a=50 m,b=30 m,则沿草坪四周的环形小路的宽应如何改变,才能保证小路的内外边缘所成的两个矩形相似?解:(1)小路内外边缘所成的两个矩形不
2、一定相似 .(2) 小路内外边缘所成的两个矩形相似, ,解得 a=b.ab=a+6b+6(3)设沿草坪四周的环形小路的纵向宽为 x,横向宽为 y,则 ,解得 ,故当沿草5030=50+2x30+2y xy=53坪四周的环形小路的纵向宽与横向宽的比为 5 3 时,小路的内外边缘所成的两个矩形相似 .类型 2 相似三角形的判定典例 1 如图,在 ABC 中, P 为 AB 上的一点,在下列四个条件中: ACP= B; APC= ACB;AC 2=APAB;AC CP=APBC.其中能满足 APC 和 ACB相似的条件是 ( )A. B.C. D.【解析】当 ACP= B 时,又 A 是公共角,所以
3、 APC ACB;当 APC= ACB 时,又 A 是公共角,所以 APC ACB;当 AC2=APAB 时,即 ,又 A 是公共角,所以 APC ACB;当ACAB=APACACCP=APBC 时,即 ,而 PAC= CAB,夹角 APC 与 ACB 不一定相等,所以不能判CPBC=APAC断 APC 和 ACB 相似 .【答案】 D【针对训练】31.如图,已知 ABC 和 DEF,点 E 在 BC 边上,点 A 在 DE 边上,边 EF 和边 AC 相交于点 G.如果 AE=EC, AEG= B,那么添加下列一个条件后,仍无法判定 DEF 与 ABC 一定相似的是(C)A. B.ABBC=
4、DEEF ADAE=GFGEC. D.AGAC=EGEF EDEF=EGEA2.将三角形纸片( ABC)按如图所示的方式折叠,使点 C 落在 AB 边上的点 D,折痕为 EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点 B,D,F 为顶点的三角形与 ABC 相似,那么 CF 的长度为 或 2 . 1273.(江西中考)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F,G 分别在 AB,BC,CD 上,且 EFG=90.求证:EBF FCG.证明: 四边形 ABCD 为正方形, B= C=90, BEF+ BFE=90. EFG=90, BFE+ CFG=90, BEF= CFG, EBF FCG.类型 3
5、相似三角形的性质典例 2 如图,点 C,D 在线段 AB 上, PCD 是等边三角形,且 ACP PDB.4(1)求 APB 的大小;(2)说明线段 AC,CD,BD 之间的数量关系 .【解析】(1) PCD 是等边三角形, PCD=60, ACP=120. ACP PDB, APC= B. A= A, ACP APB, APB= ACP=120.(2) ACP PDB,ACPD=PCBD ,PD PC=ACBD. PCD 是等边三角形,PC=PD=CD ,CD 2=ACBD.【针对训练】1.若 ABC DEF,它们的周长分别为 6 cm 和 8 cm,那么下列各式中一定成立的是 (D)A.3
6、AB=4DEB.4AC=3DEC.3 A=4 DD.4(AB+BC+AC)=3(DE+EF+DF)2.如图, CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线,垂足为 O,CE 与 DA 的延长线交于点 E.连接 AC,BE,DO,DO 与 AC 交于点 F,则下列结论:5 四边形 ACBE 是菱形; ACD= BAE;AFBE= 2 3;S 四边形 AFOES COD=2 3.其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号) 类型 4 相似三角形的实际应用典例 3 如图,身高为 1.6 m 的小李 AB 站在河的一岸,利用树的倒影去测河对岸一棵树 CD 的高度, CD 的倒影是 CD,且
7、 A,E,C在一条视线上 .已知河宽 BD=12 m,BE=2 m,则树高 CD= m. 【解析】 AB ,CD 均垂直于地面, AB CD, ABE CDE, ,即 ,解得ABCD=BEDE 1.6CD=210CD=8,CD= 8m.【答案】 8【针对训练】1.如图,电影胶片上每一个图片的规格为 3.5 cm3.5 cm,放映屏幕的规格为 2 m2 m,若放映机的光源 S 距胶片 20 cm,那么光源 S 距屏幕 m 时,放映的图象刚好布满整个屏幕 .80762.如图,现要对三角形 ABC 空地进行绿化,中位线 MN 把 ABC 空地分割成两部分,其中 AMN部分种植红花,四边形 BCNM
8、部分种植绿草,已知红花的种植面积是 20 m2,则绿草的种植面积为 60 m2. 3.在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法 .小芳的测量方法是:拿一根高 3.5 米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C 处(如图),然后沿BC 方向走到 D 处,这时目测旗杆顶部 A 与竹竿顶部 E 恰好在同一直线上,又测得 C,D 两点的距离为 3 米,小芳的目高为 1.5 米,这样便可知道旗杆的高 .你认为这种测量方法是否可行?请说明理由 .解:这种测量方法可行 .理由:设旗杆高 AB=x.过点 F 作 FG AB 于点 G,交 CE 于点 H.所以 AGF EHF
9、.因为 FD=1.5,GF=27+3=30,HF=3,所以 EH=3.5-1.5=2,AG=x-1.5.由 AGF EHF,得 ,即 ,所以 x-1.5=20,AGEH=GFHF x-1.52 =303解得 x=21.5(米) .答:旗杆的高为 21.5 米 .类型 5 位似图形典例 4 如图,正方形 OABC 和正方形 DEFG 是位似图形,点 B 的坐标为( -1,1),点 F的坐标为(4,2),且位似中心在这两个图形的同侧,则位似中心的坐标为 . 7【解析】 点 B 的坐标为( -1,1),点 F 的坐标为(4,2), AB= 1,DG=2,AD=1+2=3. 正方形OABC 和正方形
10、DEFG 是位似图形,且位似中心在这两个图形的同侧,则作直线 BG 交 x 轴于点M, 点 M 为位似中心, , ,MA= 3,OM=MA+OA= 4,M (-4,0).MAMD=ABDG MAMA+3=12【答案】( -4,0)【针对训练】1.如图,已知矩形 OABC 与矩形 ODEF 是位似图形, P 是位似中心,若点 B 的坐标为(2,4),点 E的坐标为( -1,2),则点 P 的坐标为 (-2,0) . 2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,B 的坐标分别为(3,0),(2, -3), ACD 是 AOB 关于点 A 的位似图形,且点 C 的坐标为( -1,0),则 ACD 的面积为 8 . 3.如图, ABC 在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为 A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)(1)画出 ABC 向下平移 4 个单位长度得到的 A1B1C1,并写出点 C1的坐标;(2)以点 B 为位似中心,在网格内画出 A2B2C2,使 A2B2C2与 ABC 位似,且位似比为 2 1,并写出点 C2的坐标 .8解:(1) A1B1C1如图所示,点 C1的坐标是(2, -2).(2) A2B2C2如图所示,点 C2的坐标是(1,0) .
