1、1第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数第 1 课时 正 切知识要点基础练知识点 1 正切的意义1.如图,已知在 Rt ABC 中, C=90,AB= ,AC=2,则 tan A 的值为 (B)5A.2 B.12C. D.55 2552.如图,在平面直角坐标系中,直线 OA 经过点 A(3,4),则 tan 的值是 (D)A. B.35 45C. D.34 43【变式拓展】(义乌中考)如图,点 A(t,3)在第一象限, OA 与 x 轴所夹的锐角为 ,tan = ,则32t 的值是 (C)2A.1 B.1.5C.2 D.3知识点 2 坡度(坡比)与坡角3.(丽水中考)如图,河坝横断面
2、迎水坡 AB 的坡比为 1 (坡比是坡面的铅直高度 BC 与水3平宽度 AC 之比),坝高 BC=3 m,则坡面 AB 的长度是 (B)A.9 m B.6 m C.6 m D.3 m3 34.甲坡面的坡度为 1 3,乙坡面的坡度为 1 4,则 甲 坡面比较陡 . 知识点 3 求直角三角形的边长5.如图,在 ABC 中, C=90,AC=2,tan A=3,则 AB= 2 . 106.如图,在 Rt ABC 中, BAC=90,AD BC 于点 D,若 tan B= ,求 BDCD 的值 .23解:由条件知 B= CAD, tan CAD=tan B= ,又 tan 23B= ,tan CAD=
3、 , ,BDCD= 9 4.ADBD CDAD ADBDCDAD=CDBD=49综合能力提升练37.如图,在网格中,小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 都在格点上,则 ABC 的正切值是 (D)A.2 B. C. D.255 55 128.如图,延长 Rt ABC 的斜边 AB 到点 D,使 BD=AB,连接 CD,若 tan BCD= ,则 tan A= (A)13A. B.132C. D.13 239.在 Rt ABC 中, C=90,则 tan Atan B 的值一定 (D)A.小于 1 B.不小于 1C.大于 1 D.等于 110.(日照中考)如图,在 Rt BAD 中,延长斜边
4、BD 到点 C,使 DC= BD,连接 AC,若 tan B= ,则12 53tan CAD 的值为 (D)A. B. C. D.33 35 13 1511.如图,在 ABC 中, ACB=90,CD AB 于点 D,若 CDAC= 2 3,则 tan BCD 的值是 (A)A. B. C. D.255 23 21313 213412.(广州中考)如图,在 Rt ABC 中, C=90,BC=15,tan A= ,则 AB= 17 . 15813.如图,在边长相同的小正方形网格中,点 A,B,C,D 都在这些小正方形的顶点上, AB,CD 相交于点 P,则 的值为 3 ,tan APD 的值为
5、 2 . APPB提示:取 CD 的中点 E,连接 BE,由正方形的性质得 BE=DE,由 BD AC 得 BDP ACP,所以=3,所以 DP=PE= BE,所以 tan APD=tan BPE=2.APPB=PCDP=ACBD 1214.如图,四边形 ABCD,A1B1BA,A5B5B4A4都是边长为 1 的小正方形 .已知 ACB=a, A1CB1=a1, A5CB5=a5.求 tan atan a1+tan a1tan a2+tan a2tan a3+tan a3tan a4+tan a4tan a5的值 .解:根据锐角三角函数的定义,得 tan a= =1,tan a1= ,tan
6、a2= ,tan a5=ABBC A1B1CB1=12 A2B2CB2=13,A5B5CB5=16则 tan atan a1+tan a1tan a2+tan a2tan a3+tan a3tan a4+tan a4tan a5=112+1213+1314+1415+1516=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16= .56515.(无锡中考)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,点 A,B,C,D 都在格点处, AB 与 CD 相交于点 O,求 tan BOD 的值 .解:平移 AB 到 AB交 CD 于点 O,连接 BM,如图所示 .设每个小正
7、方形的边长为 a,则 OB2=(2a)2+(4a)2=20a2,OM2=a2+a2=2a2,BM2=(3a)2+(3a)2=18a2.OB 2=OM2+BM2, OBM 是直角三角形,此时 OM= a,BM=3 a,2 2 tan BOD=tan BOM= =3.BMOM=32a2a拓展探究突破练16.如图,在直角坐标系中放入矩形纸片 ABCO.将纸片翻折后,点 B 恰好落在 x 轴上,记为点B,折痕为 CE,已知 tan OBC= ,CE=5 ,求点 E 的坐标 .34 10解:在 Rt BOC 中,根据 tan OBC= ,OCOB=34设 OC=3x,则 OB=4x,6由勾股定理得 BC
8、= =5x,OC2+OB2根据矩形的性质可知 OA=BC=BC=5x,AB=x ,由折叠的性质可证 BOC EAB, ,即 ,OBAE=OCAB=BCBE 4xAE=3xx=5xBEAE= x,BE= x,43 53在 Rt BCE 中,由勾股定理得BC2+BE2=CE2,即(5 x)2+ =(5 )2,(53x)2 10解得 x=3,OA= 5x=15,AE= x=4,43 点 E 的坐标为(15,4) .第 2 课时 正弦、余弦知识要点基础练知识点 1 正弦的定义1.在下列网格中,小正方形的边长均为 1,点 A,B,O 都在格点上,则 A 的正弦值是 (C)A. B. C. D.13 12
9、 55 10107【变式拓展】在正方形网格中, ABC 的位置如图所示,则 sin A 的值为 (D)A. B.13 14C. D.255 10102.如图,在 ABC 中, C=90,BC=4 cm,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D,且 CDDA= 3 5,则 sin A 的值是 (B)A. B. C. D.45 55 255 353.在 ABC 中,已知 AB=AC=1,BC= ,则 sin B= . 222知识点 2 余弦的定义4.(连云港中考)在 Rt ABC 中, C=90,若 sin A= ,则 cos A 的值是 (D)513A. B. C. D.512 813 23
10、 12135.在 Rt ABC 中, C=90,cos B= ,则 ACBCAB= 3 4 5 . 45知识点 3 正弦、余弦的简单应用6.设 为锐角,且满足 sin = 3cos ,则 sin cos 等于 (D)A. B. C. D.16 15 29 31087.如图,在平面直角坐标系内, O 是原点,点 A 的坐标是(10,0),点 B 在第一象限内,BO=5,sin BOA= .35(1)求点 B 的坐标;(2)求 cos BAO 的值 .解:过点 B 作 BC x 轴于点 C.(1)由 sin BOA= ,BC= 3,35得 BCOB=35由勾股定理可得 OC=4, 点 B 的坐标是
11、(4,3) .(2)OC= 4,AC= 6,由勾股定理可得 AB=3 ,5 cos BAO= .ACAB= 635=255综合能力提升练8.如图,在 Rt ABC 中, C=90,AM 是 BC 边上的中线,sin CAM= ,则 tan B 的值为 (B)35A. B. C. D.32 23 56 439.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90,BC=3,AC= ,AB 的垂直平分线 ED 交 BC 的延长线于点15D,垂足为 E,连接 AD,则 sin CAD= (A)9A. B. C. D.14 13 154 151510.如图,在矩形 ABCD 中, AB=8,BC=12,E 是
12、BC 的中点,连接 AE,将 ABE 沿 AE 折叠,点 B 落在点 F 处,连接 FC,则 sin ECF= (D)A. B. C. D.34 43 35 4511.(宜昌中考) ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为 1),AD BC 于点 D,下列四个选项中,错误的是 (C)A.sin = cos B.tan C=2C.sin = cos D.tan = 112.(杭州中考)在 Rt ABC 中, C=90,AB=2BC,下列结论: sin A= ; cos B= ; tan 32 12A= ; tan B= ,其中正确的是 .(只需填上正确结论的序号) 33 313.如图
13、,在 ABC 中, AB=9,BC=6, ABC 的面积等于 9,求 sin B.解:过点 C 作 CD AB 于点 D,则由条件知 ABCD=9,12AB= 9,CD= 2,10 sin B= .CDBC=26=1314.如图,在 ABC 中, AD 是 BC 边上的高, E 为 AC 的中点, BC=14,AD=12,sin B= ,求:45(1)线段 DC 的长;(2)tan EDC 的值 .解:(1)在 Rt ABD 中,sin B= ,ADAB=12AB=45AB= 15.BD= =9,AB2-AD2= 152-122CD=BC-BD= 14-9=5.(2)在 Rt ACD 中, E
14、 为 AC 的中点,ED=EC , EDC= C, tan EDC=tan C= .ADDC=12515.如图,在正方形 ABCD 中, M 是 AD 的中点, BE=3AE,试求 sin ECM 的值 .解:设 AE=x,则 BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,11EC= =5x,(3x)2+(4x)2EM= x,x2+(2x)2= 5CM= =2 x,(2x)2+(4x)2 5EM 2+CM2=EC2, CEM 是直角三角形, sin ECM= .EMEC= 55拓展探究突破练16.如图,在 ABC 中, AD 是 BC 边上的高,tan B=cos DAC.(1)求证: AC=BD;(2)若 sin C= ,BC=12,求 AD 的长 .1213解:(1) AD 是 BC 边上的高, ABD 和 ACD 都是直角三角形, tan B=cos DAC, ,AC=BD.ADBD=ADAC(2) sin C= ,ADAC=1213 设 AD=12k,AC=13k,则 BD=13k,12由勾股定理可求得 CD= =5k,AC2-AD2BC= 18k=12,解得 k= ,23AD= 12k=8.
