1、1小专题(三) 与切线有关的证明和计算1.在证明圆的切线问题时,常见的辅助线作法:(1)若所给直线与圆有一个公共点,则连接圆心与该公共点得半径,证半径与直线垂直,简记为“连半径,证垂直”;(2)若题目未明确指出直线与圆有公共点,则过圆心作已知直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径,简记为“作垂直,证半径” .2.遇到有切线的条件,常见辅助线作法:连接过切点的半径,运用切线的性质构造直角三角形,再应用三角形的知识求解,解题中常用圆周角定理、垂径定理、勾股定理等进行角度或线段转化,从而化未知为已知,求出未知的角和线段 .类型 1 与切线有关的计算角度问题1.(常州中考)如图, AB 是 O 的直径,
2、 MN 是 O 的切线,切点为 N,如果 MNB=52,则 NOA的度数为 (A)A.76 B.56 C.54 D.522.(宜昌中考)如图,直线 AB 是 O 的切线, C 为切点, OD AB 交 O 于点 D,点 E 在 O 上,连接 OC,EC,ED,则 CED 的度数为 (D)A.30 B.35 C.40 D.453.直线 AB 与 O 相切于点 B,C 是 O 与 OA 的交点, D 是 O 上的动点(点 D 不与点 B,C 重合),若 A=40,则 BDC 的度数是 (A)A.25或 155 B.50或 155C.25或 130 D.50或 1302提示:当点 D 在优弧 BC
3、上时, BDC= BOC=25;当点 D 在劣弧 BC 上时, BDC=180-2512=155.4.如图,已知 PA,PB 是 O 的切线, A,B 为切点, AC 是 O 的直径, P=40,则 BAC 的大小是(D)A.70 B.40 C.50 D.205.已知 A,B,C 是 O 上的三个点,四边形 OABC 是平行四边形,过点 C 作 O 的切线,交 AB 的延长线于点 D.(1)如图 1,求 ADC 的大小;(2)如图 2,过点 O 作 CD 的平行线,与 AB 交于点 E,与 交于点 F,连接 AF,求 FAB 的大小 .AB解:(1) CD 是 O 的切线, OCD=90. 四
4、边形 OABC 是平行四边形, OC AD, ADC=180- OCD=180-90=90.(2)连接 OB,由圆的性质知 OA=OB=OC. 四边形 OABC 是平行四边形,OC=AB ,OA=OB=AB , OAB 是等边三角形, AOB=60.OF CD,OF AD,由垂径定理,得 ,AF=BF3 FAB= BOF= AOB=15.12 14类型 2 与切线有关的计算长度问题6.如图, BC 为半圆 O 的直径, D 为半圆上一点,过点 D 作半圆 O 的切线 AD,作 BA DA 于点A,BA 交半圆于点 E,已知 BC=10,AD=4,若直线 CE 与以 O 为圆心, r 为半径的圆
5、相切,则 r 等于(C)A.2 B.2.5 C.3 D.3.57.如图, O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点, PQ 切 O 于点Q,则 PQ 的最小值为 (B)A. B. C.3 D.23 58.如图,直线 AB 与 O 相切于点 A,AC,CD 是 O 的两条弦,且 CD AB,若 O 的半径为5,CD=8,则弦 AC 的长为 (D)A.10 B.8 C.4 D.43 59.4如图, AB=AC=8, BAC=90,直线 l 与以 AB 为直径的 O 相切于点 B,D 是直线 l 上任意一动点,连接 DA 交 O 于点 E.(1)当点 D
6、在 AB 上方且 BD=6 时,求 AE 的长;(2)当 CE 恰好与 O 相切时,求 BD 的长 .解:(1)连接 BE.AB 为直径, AEB=90,BD 为切线, AB BD, ABD=90,在 Rt ABD 中, AD= =10,AB2+BD2= 82+62 BEAD= ABBD,BE= ,在 Rt ABE 中, AE=12 12 ABBDAD=8610=245.AB2-BE2= 82-(245)2=325(2)如图,连接 OC,OE. BAC=90,CA 为 O 的切线,CE 为 O 的切线, CA=CE ,OA=OE ,OC 垂直平分 AE, 1 +3 =90, 1 +2 =90,
7、 2 =3,5AB=CA , CAO= ABD, ABD CAO,BD=AO= 4.类型 3 与切线有关的证明问题10.如图, C 为以 AB 为直径的 O 上一点, AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D.求证: AC 平分 BAD.证明:连接 OC.OA=OC , ACO= CAO,CD 切 O 于点 C,CO CD.又 AD CD,AD CO, DAC= ACO, DAC= CAO,AC 平分 BAD.11.如图, AD 是 ABC 的高,且 AD= BC,E,F 分别为 AB,AC 的中点,以 EF 为直径作圆 O,试判断12圆 O 与 BC 的位置关系,并说明理由 .解:圆 O
8、 与 BC 相切 .理由:过点 O 作 OP BC,垂足为 P.E ,F 分别为 AB,AC 的中点, EF 为ABC 的中位线, EF= BC,EF BC.12AD= BC,EF=AD. ,12 OPAD=BEAB=12OP= AD= EF.EF 为圆 O 的直径,12 12OP 为圆 O 的半径, 圆 O 与 BC 相切 .612.如图, AB,BC,CD 分别与 O 相切于点 E,F,G,且 AB CD,BO=6,CO=8.(1)判断 OBC 的形状,并证明你的结论;(2)求 BC 的长;(3)求 O 的半径 OF 的长 .解:(1) OBC 是直角三角形 .证明: AB ,BC,CD 分别与 O 相切于点E,F,G, OBE= OBF= EBF, OCG= OCF= GCF,AB CD, EBF+ GCF=180, 12 12OBF+ OCF=90, BOC=90, OBC 是直角三角形 .(2) 在 Rt BOC 中, BO=6,CO=8,BC= =10.BO2+CO2(3)BC 与 O 相切于点 F,OF BC,S OBC= BOCO= BCOF,12 12OF= =4.8.BOCOBC=68107
