1、1小专题(一) 旋转变换的证明与计算1.任意一个图形绕旋转中心旋转 (0 180),旋转后的图形与原图形的对应线段所在直线的夹角都为 或 180-.2.当条件比较分散时,可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形中,其中旋转的角度是构图的关键 .通常把图形旋转到特定的位置或特殊的角度,当三角形绕某一顶点旋转90时,可出现等腰直角三角形,当三角形绕某一顶点旋转 60时,可出现等边三角形 .于是可把陌生问题转化为熟悉问题,把复杂问题转化为简单问题 .类型 1 利用旋转变换证明1.如图,正方形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O.(1)在图 1中 E是 OC上一点, F是 OB上一点,且 OE
2、=OF,请问可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法,使 OAF变换到 OBE的位置?(2)如图 2,若点 E,F分别在 OC,OB的延长线上,并且 OE=OF,试写出线段 AF与 BE的数量关系,并说明理由 .解:(1)旋转,以点 O为旋转中心,逆时针旋转 90度,可以使 OAF变换到 OBE的位置 .(2)AF=BE.理由: 四边形 ABCD是正方形, AC BD,OA=OB, AOB= BOC=90,在 AOF和 BOE中, AO=BO, AOF= BOE,OF=OE, AOF BOE(SAS),AF=BE.类型 2 利用旋转求线段长2.2如图,在 ABC中, AB=AC=2, BAC=4
3、5, AEF是由 ABC绕点 A按逆时针方向旋转得到的,连接 BE,CF相交于点 D.(1)求证: BE=CF;(2)当四边形 ABDF为菱形时,求 CD的长 .解:(1) AEF是由 ABC绕点 A按逆时针方向旋转得到的,AE=AF=AB=AC= 2, EAF= BAC=45, BAC+ CAE= EAF+ CAE,即 BAE= CAF,在 ABE和 ACF中, AB=AC, BAE= CAF,AE=AF, ABE ACF,BE=CF.(2) 四边形 ABDF为菱形, DF=AF= 2,DF AB, ACF= BAC=45.AC=AF , ACF= AFC=45, ACF为等腰直角三角形,
4、CF= AF=2 ,2 2CD=CF-DF= 2 -2.2类型 3 利用旋转求角的度数3.如图,菱形 ABCD是由两个正三角形拼成的, P是 ABD内任意一点,现把 BPD绕点 B旋转到 BQC的位置 .(1)当四边形 BPDQ是平行四边形时,求 BPD;(2)当 PQD是等腰直角三角形时,求 BPD;(3)若 APB=100,且 PQD是等腰三角形时,求 BPD.解:(1)连接 DQ.当四边形 BPDQ是平行四边形时, BQ=PD,由已知,得 BQ=BP,BP=PD , BQC由 BPD旋转所得, BDP, BCQ为等腰三角形, PD BQ, BDP= DBQ,3 BDP= DBP= CBQ
5、, DBQ= CBQ, DBC=60= DBQ+ CBQ, BDP= DBP= CBQ=30, DPB=180-( BDP+ DBP)=120.(2)连接 PQ.当 DP=DQ, PDQ=90时,由旋转的性质可得 BP=BQ, DBQ+ CBQ= DBC=60, DBP= CBQ, DBP+ DBQ= CBQ+ DBQ=60, BPQ为等边三角形, BPQ=60, BPD= BPQ+ DPQ=60+45=105,当 DQ=PQ, PQD=90时,同理得 BPQ为等边三角形, BPQ=60, BPD= BPQ+ DPQ=60+45=105,当 DP=PQ, DPQ=90时,同理得 BPQ为等边三
6、角形, BPQ=60, BPD= BPQ+ DPQ=60+90=150.综上, BPD的度数为 105或 150.(3)连接 AP.由旋转的性质可得 BP=BQ,同理得 BPQ为等边三角形,则 PQB= PBQ= BPQ=60,BD=AB ,BQ=BP, PBQ= ABD=60, BQD BPA,则 BQD= BPA=100, PQD= BQD- PQB=40.当 PQ=PD时, DPQ=180-2 PQD=100, BPD= BPQ+ DPQ=60+100=160;当 PQ=DQ时, DPQ= (180-40)=70,12 BPD= BPQ+ DPQ=60+70=130;当 PD=DQ时,
7、DPQ= PQD=40,由 BPD= BPQ+ DPQ=60+40=100.综上, BPD的度数为 100或 130或 160.类型 4 利用旋转求面积4.(德阳中考)如图,将 ABC沿 BC翻折得到 DBC,再将 DBC绕点 C逆时针旋转 60得到 FEC,延长 BD交 EF于点 H,已知 ABC=30, BAC=90,AC=1,则四边形 CDHF的面积为 . 335.(青海中考)请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:4(1)探究 1:如图 1,在等腰直角三角形 ABC中, ACB=90,BC=a,将边 AB绕点 B顺时针旋转90得到线段 BD,连接 CD.求证: BCD的面积为
8、 a2.12(2)探究 2:如图 2,在一般的 Rt ABC中, ACB=90,BC=a,将边 AB绕点 B顺时针旋转 90得到线段 BD,连接 CD.请用含 a的式子表示 BCD的面积,并说明理由 .(3)探究 3:如图 3,在等腰三角形 ABC中, AB=AC,BC=a,将边 AB绕点 B顺时针旋转 90得到线段 BD,连接 CD.试探究用含 a的式子表示 BCD的面积,要有探究过程 .解:(1)如题图 1,过点 D作 DE CB交 CB的延长线于点 E, BED= ACB=90,由旋转知AB=BD, ABD=90, ABC+ DBE=90, A+ ABC=90, A= DBE,在 ABC
9、和 BDE中, ACB= BED, A= DBE,AB=BD, ABC BDE(AAS),BC=DE=a ,S BCD= BCDE= a2.12 12(2) BCD的面积为 a2.12理由:如题图 2,过点 D作 BC的垂线,与 CB的延长线交于点 E. BED= ACB=90,由旋转知 AB=BD, ABD=90, ABC+ DBE=90. A+ ABC=90, A= DBE.在 ABC和 BDE中, ABC ACB= BED, A= DBE,AB=BD, BDE(AAS),BC=DE=a.S BCD= BCDE= a2.12 12(3)如题图 3,过点 A作 AF BC于点 F,过点 D作
10、 DE CB交 CB的延长线于点E, AFB= E=90,BF= BC= a, FAB+ ABF=90.12 12 ABD=90, ABF+ DBE=90, FAB= EBD. 线段 BD是由线段 AB旋转得到的, AB=BD.在 AFB和 BED中, AFB= E, FAB= EBD,AB=BD, 5 AFB BED(AAS),BF=DE= a.12S BCD= BCDE= a a= a2.12 12 12 14类型 5 利用旋转求点的坐标6.(牡丹江中考)如图,矩形 ABCD的边 BC在 x轴上,点 A在第二象限,点 D在第一象限, AB=2,OD=4,将矩形 ABCD绕点 O旋转,使点
11、D落在 x轴上,则点 C的对应点的坐标是 (C)3A.(- ,1)3B.(-1, )3C.(-1, )或(1, - )3 3D.(- ,1)或(1, - )3 3类型 6 与旋转有关的探究题7.将矩形 ABCD绕点 A顺时针旋转 a(0a360),得到矩形 AEFG.(1)如图,当点 E在 BD上时,求证: FD=CD.(2)当 a为何值时, GC=GB?画出图形,并说明理由 .解:(1)连接 AF. 矩形 AEFG由矩形 ABCD旋转所得,BD=AF , EAF= ABD,AB=AE , ABD= AEB, EAF= AEB,BD AF, 四边形 BDFA是平行四边形, FD=AB ,AB=
12、CD ,FD=CD.6(2)如答图 1,当点 G位于 BC的垂直平分线上,且在 BC的右边时, GC=GB.易知点 G是 AD的垂直平分线上的点, DG=AG ,又 AG=AD , ADG是等边三角形, DAG=60,a= 60.如答图 2,当点 G位于 BC的垂直平分线上,且在 BC的左边时, GC=GB.同理, ADG是等边三角形, DAG=60,此时 a=300.综上所述,当 a为 60或 300时, GC=GB.8.如图 1,在平面直角坐标系中, O为坐标原点,点 A的坐标为( -1,0), 点 B的坐标为(0, ).3(1)求 BAO的度数 .(2)如图 1,将 AOB绕点 O顺时针
13、旋转得 AOB,当点 A恰好落在 AB边上时,设 ABO的面积为 S1, BAO的面积为 S2, S1与 S2有何关系?为什么?(3)若将 AOB绕点 O顺时针旋转到如图 2所示的位置, S1与 S2的关系发生变化了吗?请说明理由 .解:(1) A (-1,0),B(0, ),AO= 1,BO= ,3 3 tan BAO= , BAO=60.BOAO= 31= 3(2)S1=S2.理由:根据旋转的性质可得 AO=AO, OAB= OAB=60, AOA是等边三角形, AOA=60, AOA= OAB,AB x轴, AB y轴 .设题图 1中 AB与 y轴交于点 C,在 Rt ACO中, AO=
14、1, AOC=90-60=30,7AC= ,CO= .S 1= AOCO= 1 ,S2= BOAC= ,S 1=S2.12 32 12 12 32= 34 12 12 312= 34(3)S1与 S2的关系没有发生变化 .理由:如题图 2,过点 B作 BD x轴于点 D,过点 B作 BE OA于点 E, ODB= OEB=90. AOA= BOB, BOE= BOD.又 OB=OB , OBE OBD,BE=BD. 又OA=OA ,S1= AOBD,S2= AOBE,S 1=S2.12 129.如图 1,在矩形 ABCD中, E是 AD的中点,以点 E为直角顶点的直角三角形 EFG的两边EF,
15、EG分别过点 B,C, F=30.(1)求证: BE=CE;(2)将 EFG绕点 E按顺时针方向旋转,当旋转到 EF与 AD重合时停止转动,若 EF,EG分别与AB,BC相交于点 M,N(如图 2). 求证: BEM CEN; 若 AB=2,求 BMN面积的最大值; 当旋转停止时,点 B恰好在 FG上(如图 3),求 sin EBG的值 .解:(1) 四边形 ABCD为矩形, A= D=90,AB=DC.E 为 AD中点, AE=DE , ABE DCE,BE=CE.(2) ABE DCE, AEB= DEC. FEG=90, BEC=90, AEB= DEC=45, ABE= ECB=45.
16、 BEM+ BEN= CEN+ BEN=90, BEM= CEN.BE=CE , BEM CEN.8 由 可知 ABE和 DEC都是等腰直角三角形, E为 AD中点, BC=AD= 2AB=4.设 BM=CN=x,则 BN=4-x,2 x4 .S MBN= BMBN= x(4-x)=- x2+2x=- (x-2)2+2,12 12 12 12 当 x=2时, BMN的面积最大,最大面积为 2.BC AD, FEG=90, BNG= FEG=90. F=30, NBG= F=30.由 可知 EBN=45.设 NG=y,则BG=2y,BN= y,EN= y,BE= y,S EBG= EBBGsin EBG= EGBN,3 3 612 12 sin EBG= .EGBNEBBG=(3y+y)3y6y2y = 6+ 24
