1、1考查角度 2 概率与统计的综合应用分类透析一 古典概型的综合应用例 1 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,设正四面体朝下面的数字分别为 b,c.(1)若 z=|b-3|+|c-3|,求 z=2 的概率;(2)若方程 x2-bx-c=0 至少有一个根 x1,2,3,4,就称该方程为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率 .分析 (1)用列举法列出事件,再根据要求求解 .(2)分类讨论 .解析 (1)因为随机投掷两次,所以基本事件( b,c)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)
2、,(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个 .当 z=2 时,( b,c)的所有取值有(1,3),(3,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),共 6 个 .所以 P(z=2)= = .61638(2) 若方程的一个根为 x=1,则 1-b-c=0,即 b+c=1,不成立 . 若方程的一个根为 x=2,则 4-2b-c=0,即 2b+c=4,所以 b=1,c=2. 若方程的一个根为 x=3,则 9-3b-c=0,即 3b+c=9,所以 b=2,c=3. 若方程的一个根为 x=4,则 16-4b-c=0,即 4b+c=16,所
3、以 b=3,c=4.由 知,( b,c)的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4) .所以方程为“漂亮方程”的概率 P= .316方法技巧 古典概型中基本事件个数的探求方法(1)列举法 .2(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 .对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法 .(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化 .分类透析二 统计与古典概型的综合应用例 2 据统计,2017 年国庆中秋假日期间,黔东南州共接待游客 590.23 万人次,实现旅游收入 48.67 亿元,同比分别增长 44.57%、55
4、 .22%.旅游公司规定:若公司导游接待旅客,旅游年总收入不低于 40(单位:百万元),则称为优秀导游 .经验表明,若公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高 .已知甲、乙两家旅游公司各有导游 100 名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表:分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)频数b 18 49 24 5乙公司(1)求 a,b 的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度更高?(2)若导游的奖金(单位:万元)与其一年内旅游总收入 x(单位:百万元)之间的关系为 y=求甲公司导游的年平均奖金 .1,x29%, 甲公司的影响度
5、更高 .(2)甲公司年旅游总收入在10,20)内的人数为 0.0110100=10 人;年旅游总收入在20,40)内的人数为(0 .025+0.035)10100=60 人;年旅游总收入在40,60)内的人数为(0 .02+0.01)10100=30 人 .故甲公司导游的年平均奖金 = =2.2(万元) .-y 101+602+303100(3)由已知得,年旅游总收入在50,60)内的人数为 15 人,其中甲公司 10 人,乙公司 5 人 .故按分层抽样的方法甲公司抽取 6 =4 人,记为 a,b,c,d;从乙公司抽取 6 =2 人,1015 515记为 1,2.从 6 人中随机抽取 2 人的
6、基本事件有( a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(c,d),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2),共 15 个 .参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有( a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2),共 9 个 .设事件 A 为“参加座谈的导游中有乙公司导游”,则 P(A)= = .91535 所求概率为 .35方法技巧 以统计为载体,利用统计中的数据来求古典概型的概率,仍用列举法求解 .分类透析三 独立性检验与古典概型的综合应用例 3
7、近年来,我国电子商务蓬勃发展,有关部门推出了针对网购平台的商品和服务的评价系统,从该系统中随机选出 100 次成功了的交易,并对这些交易的评价进行统计,网购者对商品的满意率为 0.6,对服务的满意率为 0.75,其中对商品和服务都满意的交易为 40 次 .4(1)根据已知条件完成下面的 22 列联表,并回答能否有 99%的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关” .对服务满意对服务不满意合计对商品满意 40对商品不满意合计 100(2)现从对商品和服务都不满意的网购者中,任意抽取两人,对他们进行回访,求对商品和服务都不满意的网购者甲被抽到的概率 .附: K2= (其中 n=a+b+c+
8、d 为样本容量) .n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2 k0)0.15 0.10 0.05 0.0250.010k0 2.0722.7063.8415.0246.635分析 (1)利用数据填写列联表即可,求出 K2的观测值,对照临界值即可得到结论;(2)由(1)知对商品和服务都不满意的网购者共有 5 人,利用列举法求出所求随机事件的概率 .解析 (1)对服务满意对服务不满意合计对商品满意 40 20 60对商品不满意35 5 40合计 75 25 100K2的观测值 k= 5 .55610.828.200(8060-4020)212080100100所有 99.
9、9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关” .1.(2018 海南高三联考)某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过 9 站的地铁票价如下表:乘坐站数 0x3 3x6 6x97x票价(元) 1 2 3现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过 9 站,且他们各自在每个站下车的可能性是相同的 .(1)若甲、乙两人共付费 2 元,则甲、乙两人下车方案共有多少种?(2)若甲、乙两人共付费 4 元,求甲比乙先到达目的地的概率 .解析 (1)由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过 3 站,前 3 站设为 A1,B1,C1,甲、乙两人
10、有( A1,A1),(A1,B1),(A1,C1),(B1,A1),(B1,B1),(B1,C1),(C1,A1),(C1,B1),(C1,C1),共 9 种下车方案 .(2)设 9 站分别为 A1,B1,C1,A2,B2,C2,A3,B3,C3,因为甲、乙两人共付费 4 元,所以有甲付 1 元,乙付 3 元;甲付 3 元,乙付 1 元;甲付 2 元,乙付 2 元共三类情况 .由(1)可知每类情况中各有 9 种方案,所以甲、乙两人共付费 4 元有 27 种方案 .而甲比乙先到达目的地的方案有( A1,A3),(A1,B3),(A1,C3),(B1,A3),(B1,B3),(B1,C3),(C1
11、,A3),(C1,B3),(C1,C3),(A2,B2),(A2,C2),(B2,C2),共 12 种,故所求概率为 = .122749所以甲比乙先到达目的地的概率为 .492.(2018 华南师大附中模拟)汉字听写大会不断创收视新高,为了避免“书写危机”,弘扬传统文化,某市大约 10 万名市民进行了汉字听写测试 .现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试情况,发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在 160 到 184 之间,将测试结果按如下方式分成 6 组:第 1 组160,164),第 2 组164,168),第 6 组180,184 .如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方
12、图 .8(1)若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访,求被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率;(2)已知第 5,6 两组市民中共有 3 名女性,组织方要从这两组中随机抽取 2 名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至少有 1 名女性市民的概率 .解析 (1)被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的频率为(0 .05+0.02)4=0.28, 被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率为 0.28.(2)第 5,6 两组的人数为(0 .02+0.01)450=6, 第 5,6 两组中共有 6 名市民,其中女性市民共 3 名 .记第 5,6 两组中的 3 名男性市民分别为 A,B,C,3 名
13、女性市民分别为 x,y,z,从第 5,6 两组中随机抽取 2 名市民组成宣传队,共有 15 个基本事件,列举如下: AB,AC,Ax,Ay,Az,BC,Bx,By,Bz,Cx,Cy,Cz,xy,xz,yz.至少有 1 名女性有 Ax,Ay,Az,Bx,By,Bz,Cx,Cy,Cz,xy,xz,yz,共 12 个基本事件 . 从第 5,6 两组中随机抽取 2 名市民组成宣传队,至少有 1 名女性的概率为 = .1215453.(2018 广东省高三第一次模拟)“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号 .用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介,然后关注该公众号,就能看见自己与好友每日行走
14、的步数,并在同一排行榜上得以体现 .现随机选取朋友圈中的 50 人,记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:步数 /步男性人数/人女性人数/人03000 1 0300160002 3600180007 580011000015 1110000 以上5 19规定:人一天行走的步数超过 8000 步时被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型” .(1)填写下面列联表(单位:人),并根据列表判断是否有 90%的把握认为“评定类型与性别有关”;积极型懈怠型总计男女总计附: K2= ,n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2 k0)0.100.050.0250.010k02
15、.7063.8415.0246.635(2)为了进一步了解“懈怠型”人群中每个人的生活习惯,从步行数在 30016000 的人群中再随机抽取 3 人,求选中的人中男性人数超过女性人数的概率 .解析 (1)根据题意完成下面的列联表:积极型懈怠型总计男 20 10 30女 12 8 20总计 32 18 50根据列联表中的数据,得到 K2的观测值 k= 0 .2312.706,50(208-1012)230203218所以没有 90%的把握认为“评定类型与性别有关” .(2)设步行数在 30016000 中的男性的编号为 1,2,女性的编号为 a,b,c.10从 5 人中选取 3 人有(1,2,
16、a),(1,2,b),(1,2,c),(1,a,b),(1,a,c),(1,b,c),(2,a,b),(2,a,c),(2,b,c),(a,b,c),共 10 种情况 .符合条件的情况有(1,2, a),(1,2,b),(1,2,c),共 3 种 .故所求概率为 .3104.(2018 东北三省三校高三模拟)某校从高一年级参加期末考试的学生中抽取 50 名学生,并统计了他们的数学成绩(满分为 100 分),将数学成绩进行分组,并根据各组人数制成如下频率分布表:分组 频数 频率40,50) a 0.0450,60) 3 b60,70) 14 0.2870,80) 15 0.3080,90) c
17、d90,1004 0.08合计 50 1(1)写出 a,b,c,d 的值,并估计本次考试全年级学生的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)现从成绩在90,100内的学生中任选两名同学,从成绩在40,50)内的学生中任选一名同学,共三名同学参加学习习惯问卷调查活动 .若 A1同学的数学成绩为 43 分, B1同学的数学成绩为 95 分,求 A1,B1两同学恰好都被选出的概率 .解析 (1)a=2,b=0.06,c=12,d=0.24.估计本次考试全年级学生的数学平均分为450.04+550.06+650.28+750.3+850.24+950.08=73.8.(2)设数学成绩在90,100内的四名同学分别为 B1,B2,B3,B4,成绩在40,50)内的两名同学分别为 A1,A2,11则选出的三名同学有A1B1B2,A1B1B3,A1B1B4,A1B2B3,A1B2B4,A1B3B4,A2B1B2,A2B1B3,A2B1B4,A2B2B3,A2B2B4,A2B3B4,共 12 种情况 .A1,B1两名同学恰好都被选出的有 A1B1B2,A1B1B3,A1B1B4,共 3 种情况 .所以 A1,B1两名同学恰好都被选出的概率 P= = .31214
