1、1考查角度 4 轨迹方程与探索性问题分类透析一 轨迹方程的求解例 1 已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;(2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1与轨迹 C 相交于点 A,B,l2与轨迹 C 相交于点 D,E,求 的最小值 .ADEB分析 (1)设动点为 P(x,y),根据两点间的距离公式和点到直线的距离公式,列方程,并化简;(2)设出直线 l1的方程,与抛物线方程联立消去 y,得到关于 x 的一元二次方程,用韦达定理,求出两个根的和与积 .由 l1与 l2的关系,同理求出另外两
2、个根的和与积,再代入 AD,利用基本不等式求出其最小值 .EB解析 (1)设动点 P 的坐标为( x,y),由题意得 -|x|=1.(x-1)2+y2化简得 y2=2x+2|x|.当 x0 时, y2=4x;当 xb0)的离心率为 ,过椭圆 E 的右顶点 R 任意作直线 l,设x2a2y2b2 32直线 l 交抛物线 y2=2x 于 M,N 两点,且 OM ON.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点,点 P 关于原点 O 的对称点为 A,关于 x 轴的对称点为 Q,线段 PQ 与 x 轴相交于点 C,点 D 为 CQ 的中点,若直线 AD 与椭圆 E 的另一个交
3、点为 B,试判断直线 PA,PB 是否相互垂直?并证明你的结论 .分析 (1)设直线 l:ty=x-a,代入 y2=2x 并整理得方程,利用韦达定理结合 OM ON,即可求出椭圆方程;(2)用根与系数的关系或点差法证明 kPAkPB=-1.解析 (1)设点 M(x1,y1),N(x2,y2),设直线 l:ty=x-a,代入 y2=2x 并整理得y2-2ty-2a=0,所以 y1+y2=2t,y1y2= -2a.故 =x1x2+y1y2= (y1y2)2+y1y2= 4a2-2a=a2-2a=0,解得 a=2.OMON14 14又 e= = ,所以 c= ,b=1,ca 32 33所以椭圆 E
4、的方程为 +y2=1.x24(2)PA PB 恒成立 .证明如下:设 B(x1,y1),P(x0,y0),则 A(-x0,-y0),D , + =1, + =1,两式相减(x0,-y02)x214y21 x204y20得 =- ,故 kBAkPB= = =- .y21-y20x21-x20 14 y1+y0x1+x0 y1-y0x1-x0y21-y20x21-x20 14又 kAB=kAD= = ,代入上式可得 kPB=- ,-y02+y0x0+x0 y04x0 x0y0所以 kPAkPB= =-1,即 PA PB.y0x0 (-x0y0)方法技巧 涉及中点弦的问题的两种解法: 点差法:在求解
5、圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程 .“点差法”的常见题型有求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题 .必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式 是否为正数 . 根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解 .分类透析三 探索满足条件的点例 3 已知直线 l:4x+3y+10=0,半径为 2 的圆 C 与 l 相切,圆心 C 在 x 轴上且在直线 l的上方 .(1)求圆 C 的标准方程
6、 .(2)任意过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A,B 两点( A 在 x 轴上方),问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N,使得 x 轴平分 ANB?若存在,请求出定点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 .解析 (1)设圆心 C(a,0) ,则 =2a=0 或 a=-5(舍去),(a -52) |4a+10|5所以圆 C 的标准方程为 x2+y2=4.(2)当直线 AB x 轴时,在 x 轴正半轴上任一点,都可使 x 轴平分 ANB.当直线 AB 斜率存在时,4设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立圆 C 的方程和直线 AB 的方
7、程,得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,x2+y2=4,y=k(x-1)故 x1+x2= ,x1x2= ,2k2k2+1 k2-4k2+1若 x 轴平分 ANB,则 kAN=-kBN + =0 + =02x1x2-(t+1)(x1+x2)y1x1-t y2x2-t k(x1-1)x1-t k(x2-1)x2-t+2t=0 - +2t=0t=4.2(k2-4)k2+1 2k2(t+1)k2+1当定点 N 的坐标为(4,0)时,能使得 ANM= BNM 恒成立 .方法技巧 解决探索性问题的一般步骤:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,
8、若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在 .1.(2016 年全国 卷,理 20 改编)设圆 x2+y2+2 x-13=0 的圆心为 A,直线 l 过点 B( ,0)3 3且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于 C,D 两点,过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明 |EA|+|EB|为定值,并写出点 E 的轨迹方程;(2)过点 M 作直线 MG,MP 分别与椭圆相交于 G,P 两点,满足直线 MG 与 MP 的倾斜角互(1,32)补,判断直线 GP 的斜率是否为定值,若为定值,求出此定值;若不为定值,请说明理由 .解析(
9、1)BE AC, BDE CAD, = .DEADBEACAD=AC= 4,DE=BE.AE+DE= 4,|EA|+|EB|= 4,是定值 .由椭圆的定义得点 E 的轨迹方程为 +y2=1(y0) .x24(2)设 G(x1,y1),P(x2,y2),直线 MG 的方程是 y=k(x-1)+ ,直线 MP 的方程是 y=-k(x-1)32+ ,325联立 消去 y 得(4 k2+1)x2+(4 k-8k2)x+4k2-4 k-1=0,x24+y2=1,y=k(x-1)+ 32, 3 3x M=1,x 1= .同理可得 x2= .4k2-43k-14k2+1 4k2+43k-14k2+1又 y1
10、-y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k,则直线 GP 的斜率 kGP= = = .y2-y1x2-x1 4k83k 362.(2017 年全国 卷,文 20 改编)设 O 为坐标原点,动点 M 在圆 C:x2+y2=2 上,过点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 = .2NPNM(1)求点 P 的轨迹 G 的方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 =1.证明过点 M 且垂直于 OQ 的直线 l 过轨迹 G 的左焦点OMMQF.解析 (1)设 P(x,y),M(x,y),N(x,0),由 = ,得 (x-x,y)=(0,y),2NPNM 2即 得 代
11、入圆的方程( x)2+(y)2=2,得到 +y2=1, 点 P 的轨x-x=0,2y=y, x=x,y= 2y, x22迹方程为 +y2=1.x22(2)由题意知,椭圆的左焦点为 F(-1,0),设 M(m,n),Q(-3,t),则 =(m,n), =(-3,t),OM OQ=(-3-m,t-n), =(-1-m,-n).MQ MF由 =1,得 -3m-m2+tn-n2=1.OMMQ又 m2+n2=2, 3+3m-tn=0. =3+3m-tn=0,即 .OQMF OQMF 过点 M 存在唯一直线垂直于 OQ, 过点 M 且垂直于 OQ 的直线 l 过 G 的左焦点 F.1.(安徽省淮南市 20
12、18 届高三第二次模拟考试)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 y 轴上,且抛物线上有一点 P(m,5)到焦点的距离为 6.(1)求该抛物线 C 的方程;6(2)已知抛物线上一点 M(4,t),过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME,且 MD ME,判断直线 DE是否过定点,并说明理由 .解析 (1)由题意设抛物线方程为 x2=2py,其准线方程为 y=- ,p2P (m,5)到焦点的距离等于其到准线的距离, 5+ =6,p= 2, 抛物线 C 的方程为 x2=4y.p2(2)过定点( -4,8).证明如下:由(1)可得点 M 的坐标为(4,4) .设直线 MD 的方程为 y=k(x-4
13、)+4,联立 得 x2-4kx+16k-16=0.y=k(x-4)+4,x2=4y, 设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 xMx1=16k-16,x 1= =4k-4,y1= =4(k-1)2.16k-164 (4k-4)24同理可得 x2=- -4,y2=4 ,4k (1k+1)2 直线 DE 的方程为y-4(k-1)2= (x-4k+4)4(k-1)2-4(1k+1)24k-4+4k+4= (x-4k+4)(k+1k)(k-1k-2)k+1k= (x-4k+4).(k-1k-2)化简得 y= x+4k- = (x+4)+8.(k-1k-2) 4k(k-1k-2) 直线 DE 过定点
14、( -4,8).2.(江西上饶市 2018 届高三上学期第一次模拟考试)已知抛物线 E:y2=2px(p0)的顶点在坐标原点 O,过抛物线 E 的焦点 F 的直线 l 与该抛物线交于 M,N 两点, MON 面积的最小值为 2.(1)求抛物线 E 的方程;(2)试问是否存在定点 D,过点 D 的直线 n 与抛物线 E 交于 B,C 两点,当 A,B,C 三点不共线时,使得以 BC 为直径的圆必过点 A .若存在,求出所有符合条件的点;若不存在,请说明理由 .(p2,p)解析 (1)设直线的方程为 x=my+ ,设 M(x1,y1),N(x2,y2),p2联立 y 2-2pmy-p2=0, MO
15、N 面积的最小,即 |y1-y2|最小,x=my+p2,y2=2px,|y 1-y2|= = =2p ,(y1+y2)2-4y1y2 4p2m2+4p2 m2+17 当 m=0 时, |y1-y2|最小,最小值为 2p,即 MON 的面积最小, 2= 2p,解得12 p2p=2, 抛物线 E 的方程为 y2=4x.(2)假设存在这样的定点 D,当 m 不垂直于 x 轴时,可设直线为 y=kx+m,显然 k0 .联立 可得 y2- y+ =0,y=kx+m,y2=4x, 4k 4mkp= 2, 点 A 的坐标为(1,2) .设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2=
16、, =0, 4k 4mkABAC =(x1-1,y1-2)(x2-1,y2-2)= +y1y2-2(y1+y2)+4= - -ABAC (y214-1)(y224-1) m2k21416k2+ - +5=0.8mk 4mk8k化简可得 m2+6km+(5k2+8k-4)=0,即 m+(5k+2)m+(k-2)=0.当 m=-k+2 时, y=k(x-1)+2,恒过定点(1,2),即点 A 不合题意;当 m=-5k-2 时, y=k(x-5)-2,恒过定点 D(5,-2),此时存在定点,满足条件 .容易验证当直线过点 D(5,-2)且垂直于 x 轴时, =0,ABAC综上,存在唯一的定点 D(5
17、,-2)满足条件 .3.(四川省德阳市 2018 届高三二诊考试)已知椭圆 C: + =1(ab0)的两个焦点与短轴的一x2a2y2b2个端点构成的三角形的面积为 2 ,且椭圆 C 的离心率为 .332(1)求椭圆 C 的方程;(2)过点(4,0)且斜率不为零的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M,N,点 T(2 ,0),试探究:直线 MT2与 NT 的斜率之积是否为常数 .解析 (1)由题意得 (其中 c 为椭圆的半焦距),解得bc=2 3,ca= 32 a2=8,b2=2,所以椭圆 C 的方程为 + =1.x28y22(2)由题意设直线 l 的方程为 x=my+4,M(x1,y1),N(x2
18、,y2),由 得( m2+4)y2+8my+8=0,x=my+4,x28+y22=1,8所以y1+y2= - 8mm2+4,y1y2= 8m2+4, =64m2-32(m2+4)0,所以 x1+x2=m(y1+y2)+8= ,x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16= ,32m2+4 64-8m2m2+4所以 kMTkNT= = = .y1y2(x1-22)(x2-22) y1y2x1x2-22(x1+x2)+83+224故直线 MT 与 NT 的斜率之积为常数 .4.(2017 届河南省安阳市高三第一次模拟)已知椭圆 C: + =1(ab0)的上、下两个焦点分y2a2x2b2别为 F
19、1、 F2,过点 F1与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于 M,N 两点, MNF2的面积为 ,椭圆 C 的3离心率为 .32(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)已知 O 为坐标原点,直线 l:y=kx+m 与 y 轴交于点 P,与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点,若存在实数 ,使得 + =4 ,求 m 的取值范围 .OA OBOP解析 (1)已知椭圆 C 的焦距为 2c,当 y=c 时, |MN|=|xM-xN|= ,2b2a由题意知 MNF2的面积为|F1F2|MN|=c|MN|= = ,12 2b2ca 3又 = ,b 2=1,a 2=4,ca 32 椭圆 C 的标准方程为 x2+ =
20、1.y24(2)若 m=0,则 P(0,0),由椭圆的对称性得 = ,即 + =0,APPB OAOBm= 0 能使 + =4 成立 .OA OBOP若 m0,由 + =4 ,得 = + .OA OBOP OP14OA 4OBA ,B,P 三点共线, 1+= 4,解得 = 3.设 A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由 y=kx+m,x2+y24=1,得( k2+4)x2+2mkx+m2-4=0,9由已知得 = 4m2k2-4(k2+4)(m2-4)0,即 k2-m2+40,且 x1+x2= ,x1x2= .-2kmk2+4 m2-4k2+4由 +3 =4 ,可得 =3 ,OAOBOP APPB-x 1=3x2,即 x1=-3x2, 3(x1+x2)2+4x1x2=0, + =0,即 m2k2+m2-k2-4=0.12k2m2(k2+4)24(m2-4)k2+4当 m2=1 时, m2k2+m2-k2-4=0 不成立,k 2= .4-m2m2-1k 2-m2+40, -m2+40,即 0,4-m2m2-1 (4-m2)m2m2-1 1m24,解得 -2m-1 或 1m2.综上所述, m 的取值范围为 m|-2m-1 或 m=0 或 1m2.
