1、1考查角度 2 最值和取值范围问题分类透析一 利用函数的性质求最值例 1 如图,已知抛物线 x2=y,点 A ,B ,抛物线上的点 P(x,y) .过(-12,14) (32,94) (-12b0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 .x2a2y2b2 12(1)求椭圆 C 的方程;(2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0),求y0的取值范围 .分析 (1)由焦点坐标知 c=1,由离心率知 a=2,进而可求得 b2,得到椭圆方程;(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 Q(x3,y3),讨论直线 MN
2、 的斜率 k,当斜率存在时,设出直线 MN 的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系,得到 x3,y3与 k 的关系,再求出线段MN 的垂直平分线,从而求出 y0及其取值范围 .解析 (1)依题意,得 c=1.因为椭圆 C 的离心率为 e= ,12所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆 C 的方程为 + =1.x24y23(2)当 MN x 轴时,显然 y0=0.当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k0) .由 消去 y 并整理得(3 +4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.y=k(x-1),x24+y23=1,设 M(x1,y1),N(x2
3、,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3),则 x1+x2= .8k23+4k2所以 x3= = ,y3=k(x3-1)= .x1+x22 4k23+4k2 -3k3+4k2故线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ =- x- .3k3+4k2 1k 4k23+4k24在上述方程中,令 x=0,得 y0= = .k3+4k2 13k+4k当 k0 时, +4k4 ,当且仅当 =4k,k= 时,等号成立 .3k 3 3k 32所以 - y0 0,即 |b|0 时的最18 |4t+t|小值即可 .当 t0 时, f(t)= (4+t2) = ,18 (4t+t)18(t3+8t+16t)f(
4、t)= = (3t4+8t2-16)= (3t2-4)(t2+4).18(3t2+8-16t2) 18t2 18t2当 0 时, f(t)0,f(t)为增函数 .233所以当 t0 时,函数 f(t)在 t= 时取得最小值 f = .233 (233)1639因为 f(t)为偶函数,所以当 t 0,即 m2m2,解得 0 0,解得 m .2m-13 12 所求 m 的取值范围是 .(12,2)2.(2018 届安徽省黄山市一模)设 F1、 F2分别是椭圆 +y2=1 的左、右焦点 .x24(1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且 =- ,求点 P 的坐标;PF1 PF2548(2)设过定点
5、 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,且 AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .解析 (1)易知 a=2,b=1,c= , 3F 1(- ,0),F2( ,0).设 P(x,y)(x0,y0),3 3则 =(- -x,-y)( -x,-y)=x2+y2-3=- .又 +y2=1,PF1 PF2 3 354 x24联立 由 x0,y0,得x2+y2=74,x24+y2=1, x=1,y= 32,故点 P 的坐标为 .(1,32)(2)显然 k=0 不满足题意,故设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立
6、消去 y,整理得(1 +4k2)x2+16kx+12=0.x24+y2=1,y=kx+2,x 1x2= ,x1+x2=- .121+4+k2 16k1+4k2由 = (16k)2-4(1+4k2)120,得 k2 . 34又 AOB 为锐角, cos AOB0, 0,OAOB =x1x2+y1y20.OAOBy 1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,x 1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2) +2k +4= 0, 0121+4k2 (- 16k1+4k2) 4(4-k2)1+4k2b0)过点 ,且两个焦点x2a2y2b
7、2 (1,22)的坐标为( -1,0),(1,0).(1)求椭圆 E 的方程;9(2)若 A,B,P(点 P 不与椭圆顶点重合)为 E 上的三个不同的点, O 为坐标原点,且 = + ,OPOAOB求 AB 所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值 .解析 (1)由已知得 c=1,2a= + =2 ,4+12 12 2a= ,b=1,故椭圆 E 的方程为 +y2=1.2x22(2)设直线 AB 的方程为 x=my+t(m0),代入 +y2=1,得( m2+2)y2+2mty+t2-2=0.x22设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=- ,y1y2= ,= 8(m2-t2+2)
8、.2mtm2+2 t2-2m2+2设 P(x0,y0),由 = + ,得 y0=y1+y2=- ,x0=x1+x2=my1+t+my2+t=m(y1+y2)+2t= .OPOAOB2mtm2+2 4tm2+2 点 P 在椭圆 E 上, + =1,即 =1, 4t2=m2+2.16t22(m2+2)2 4m2t2(m2+2)2 4t2(m2+2)(m2+2)2在 x=my+t 中,令 y=0,则 x=t;令 x=0,则 y=- .tm 所求三角形的面积 S= |xy|= = = |m|+ 2 = ,12 12 t2|m|18 m2+2|m| 18 2|m| 18 2 24当且仅当 m2=2,t2
9、=1 时取等号,此时 = 240, 所求三角形面积的最小值为 .244.(安徽省马鞍山市 2018 届高三第二次教学质量监测)在直角坐标系中,已知点 A(-2,0),B(2,0),两动点 C(0,m),D(0,n),且 mn=3,直线 AC 与直线 BD 的交点为 P.(1)求动点 P 的轨迹方程;(2)过点 F(1,0)作直线 l 交动点 P 的轨迹于 M,N 两点,试求 的取值范围 .FMFN解析 (1)直线 AC 的方程: y= (x+2), m2直线 BD 的方程: y=- (x-2), n2上述两式相乘得 y2=- (x2-4).mn4又 mn=3,整理得 + =1.x24y23由
10、mn=3 得 m0, n0,故 x 2.所以动点 P 的轨迹方程为 + =1(x 2).x24y23(2)当直线 MN 的斜率不存在时, M ,N 1,- ,有 = , = ,(1,32) 32 FM(0,32)FN(0,-32)得 =- .FMFN9410当直线 MN 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),联立 整理得(4 k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,x24+y23=1,y=k(x-1),则 x1+x2= ,x1x2= .8k24k2+3 4k2-124k2+3故 =x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=(1+k2)x1x2-(x1+x2)+1=(1+k2)FMFN=- =- - .(4k2-124k2+3- 8k24k2+3+1) 9(k2+1)4k2+3 94 94(4k2+3)由 k20,可得 -3- - - ,94 94(4k2+3) 94综上可得 的取值范围为 .FMFN (-3,-94
