1、1考查角度 1 等差数列的基本量的运算分类透析一 等差数列与数学文化例 1 (2018石嘴山一模)张丘建算经是中国古代的数学著作,书中有一道题为“今有女善织,日益功疾(注:从第 2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织 5尺布,现一月(按 30天计)共织 390尺布”,则从第 2天起每天比前一天多织( )尺布 .A. B. C. D.1631 1629 12解析 设此等差数列 an的公差为 d,则 305+ d=390,解得 d= .1629答案 C方法技巧 此题考查等差数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断织布的过程是等差数列 .等差数列的判断方法主要有以下两种:(1)定义法,证明
2、 an-an-1=d(n2, d为常数);(2)等差中项法,证明 2an=an-1+an+1(n2) .分类透析二 涉及等差数列的基本量命题点 1 首项与公差类例 2 (2018商洛模拟)在等差数列 an中, a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10的值为( ).A.20 B.22 C.24 D.-8解析 在等差数列 an中, a1+3a8+a15=120, 5a8=120,a 8=24, 2a9-a10=a1+7d=a8=24.答案 C方法技巧 等差数列的通项公式以及前 n项和公式共涉及五个量,已知其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”) .命题点 2 公差与前 n项和类例 3
3、(2018沙市区校级二模)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,S10=-10,a5=a3+4,则S30=( ).A.10 B.178 C.180 D.570解析 设公差为 d,由 a5=a3+4,2得 2d=a5-a3=4,d= 2.S 10=-10, 10a1+ 2=-10,10(101)2解得 a1=-10,S 30=30(-10)+ 2=570.30(301)2答案 D方法技巧 当已知前 n项和的通项公式时,应联立解出首项和公差,然后求出其他相应的量 .命题点 3 首项与前 n项和类例 4 (2018历城区校级一模)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,a2+a8=2am=24,a
4、1=2,则 S2m= . 解析 数列 an是等差数列,且 a2+a8=2am=24,m= 5,a5=12.a 1=2,a 5=2+4d=12,解得 d= ,S 2m=S10=102+ = .答案 方法技巧 利用等差数列的性质“若 m+n=p+q(m,n,p,qN *),则有 am+an=ap+aq”可以有效地简化计算,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用 .分类透析三 等差数列的实际应用例 5 (2018合肥二模)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言” .题意是把 996斤绵分给 8个儿子做盘缠,按照年龄从大到小
5、的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多 17斤绵,那么第 8个儿子分到的绵是( ).A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤解析 由题意可知,此数列为等差数列,以第 8个儿子分到的绵的斤数为首项,则公差d=-17,n=8,S8=996, 8a1+ (-17)=996,8(81)2解得 a1=184.3答案 B方法技巧 对于数列的实际应用题,首先应该审清题意,弄清楚考查的是等差数列还是等比数列,然后根据题意得出首项,公差(公比),前 n项和等相关信息,进而求出结果 . 1.(2018年全国 卷,理 4改编)记 Sn为等差数列 an的前 n项和 .若 a2=-2013,S2017=20
6、17,则 S2018= . 解析 由 a2=-2013,S2017=2017,得 a2=a1+d=-2013,S2017=2017a1+ d=2017,2017(20171)2解得 a1=-2015,d=2,a 2018=a1+2017d=2019,S 2018=S2017+a2018=2019+2017=4036.答案 40362.(2018年北京卷,理 9改编)设 an是等差数列,且 a3+a5=42,a4+a2=30,则 an的通项公式为 .解析 an是等差数列,且 a3+a5=42,a4+a2=30,a 4=21,a3=15,解得 a1=3,d=6,a n=a1+(n-1)d=3+(n
7、-1)6=6n-3. an的通项公式为 an=6n-3.答案 an=6n-33.(2017年全国 卷,理 4改编)已知在等差数列 an中, a4=-5,前 5项和 S5=-15,则数列 an的公差为( ).A.-3 B.- C.-2 D.-1解析 设等差数列 an的公差为 d,在等差数列 an中, a4=-5,S5= =5a3=-15,即 a3=-3,(1+5)52故 d=a4-a3=-5-(-3)=-2.答案 C44.(2017年全国 卷,理 15改编)等差数列 an的前 n项和为 Sn,a1=1,S2=3,则 = .解析 由等差数列 an的前 n项和为 Sn,a1=1,S2=3,易得数列
8、an的首项为 1,公差为 1,所以 Sn= , = =2 ,(+1)2 1 2(+1) (1 1+1)则 =2(112+1213+1314+1 1+1)=2 = .2+1答案 2+11.(2018兴安盟一模)在等差数列 an中, an0, + +2a1a7=4,则它的前 7项之和等于( ).2127A. B.5 C. D.7解析 在等差数列 an中, an0, + +2a1a7=4,2127 (a1+a7)2=4,a 1+a7=2,S 7= (a1+a7)= 2=7.答案 D2.(2018岳麓区校级二模)设等差数列 an,bn的前 n项和分别为 Sn,Tn,若对任意的 nN *,都有 = ,则
9、 的值为( ).A. B. C. D.919解析 由等差数列的性质和求和公式可得 = = = = .答案 B3.(2018上城区校级模拟)各项都是正数的等比数列 an中, a2, a3,a1成等差数列,则的值是( ).5A. B.5+12C. D. 或5+12解析 设 an的公比为 q(q0),由 a3=a2+a1,得 q2-q-1=0,解得 q= ,1+52 = = .1答案 A4.(2018兴庆区校级二模)等差数列 an的前 11项和 S11=88,则 a3+a9=( ).A.32 B.24 C.16 D.8解析 等差数列 an的前 11项和 S11=88,S 11= =88,a 1+a1
10、1=16,根据等差数列的性质可得 a3+a9=a1+a11=16.答案 C5.(2018湖北模拟)在等差数列 an中,若 a4+a6+a8+a10+a12=110,记 Sn为数列 an的前 n项和,则S15的值为( ).A.300 B.330 C.350 D.360解析 在等差数列 an中,由 a4+a6+a8+a10+a12=110,得 5a8=110,即 a8=22.S 15= =15a8=1522=330.(1+15)152答案 B6.(2018广州一模)等差数列 an的各项均不为零,其前 n项和为 Sn,若 =an+2+an,则S2n+1=( ).A.4n+2 B.4n C.2n+1
11、D.2n解析 在等差数列 an中,由 =an+2+an,得 =2an+1. 等差数列 an的各项均不为零,6a n+1=2,则 S2n+1= =(2n+1)an+1=4n+2.答案 A7.(2018祁阳县二模)在等差数列 an中, Sn为其前 n项和,若 a3+a4+a8=25,则 S9=( ).A.60 B.75 C.90 D.105解析 设等差数列 an的公差为 d,a 3+a4+a8=25, 3a1+12d=25,a 5=a1+4d= ,253S 9= (a1+a9)=9a5=9 =75.253答案 B8.(2018咸阳二模)设等差数列 an的前 n项和为 Sn,若 a4,a10是方程
12、x2-8x+1=0的两个根,则 S13=( ).A.58 B.54 C.56 D.52解析 a 4,a10是方程 x2-8x+1=0的两个根,a 4+a10=8.又 a4+a10=2a7,a 7=4,S 13= (a1+a13)=13a7=52.132答案 D9.(2018中山市一模)在等差数列 an中, a3+a6+a9=54,设数列 an的前 n项和为 Sn,则 S11=( ).A.18 B.99 C.198 D.297解析 在等差数列 an中,由 a3+a6+a9=54,得 3a6=54,即 a6=18,所以 a1+a11=2a6=36,则 S11= = =198.(1+11)112 36112答案 C10.(2018门头沟区一模)在等差数列 an中,其前 n项和为 Sn,公差 d0,S260,S260,(1+26)262 0,13+14a2a130,从而 00,即 0, 数列 , , 的最大项是第 13项 .答案 13
